Bogenlänge berechnen von...

[Zickedi]

$y = \frac{1}{2}a ( e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}} )$

von x=0 bis x=a

Das sieht nach cosh aus
Aber ich komm da nicht weiter.
Kann jemand helfen ?

[Gast]

Hallo

Die Bogenlänge s von a bis b berechnet sich wie folgt:

$s= \int_a^b \sqrt{1+y'(x)^2} dx$

Nun zum konkreten y und der Ableitung:
$y(x) = a \frac{e^\frac{x}{a}+e^{-\frac{x}{a}}}{2} = a \cdot cosh(\frac{x}{a})$
$\Rightarrow y'(x) = sinh(\frac{x}{a})$

Womit folgendes Integral zu lösen ist (für die konkreten Grenzen):
$s= \int_0^a \sqrt{1+sinh^2(\frac{x}{a})} dx$

Aus der Identität
$cosh^2(x)-sinh^2(x)=1$
folgt
$s= \int_0^a \sqrt{cosh^2(\frac{x}{a})} dx$
$= \int_0^a |cosh(\frac{x}{a})| dx$
$= \int_0^a cosh(\frac{x}{a}) dx$
= [a \cdot sinh(\frac{x}{a}) ]^a_0
$= a \cdot sinh(1)$
$= a \frac{e-\frac{1}{e}}{2}$

MfG, space

[WebFritzi]

Schön, space.

[Zickedi]

Na klar, die Identität hab ich nicht verwendet.
Mit dem hyperbolicus rechnet man halt nicht so oft.

Danke für die Hilfe.