4. Wie löst man diese Gleichung?

Wie löst man diese Gleichung?

  • B

    Erweitern heißt, dass Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor multipliziert werden.

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  • M

    Ach im Bruch, ich dachte in der Gleichung selber.
    Aber das wäre doch dann:

    x+2x+x−1x−2=(x2−2)(x(x−2))(x(x−2))(x(x−2))\frac{x+2}{x}+\frac{x-1}{x-2} = \frac{(x^2-2)(x(x-2))}{(x(x-2))(x(x-2))}

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  • A

    \begin{eqnarray*}
    \frac{x+2}{x}+\frac{x-1}{x-2} &=& \frac{x^2-2}{x(x-2)} \ \ \ \Big| \cdot(x(x-2))\
    \frac{(x+2)x(x-2)}{x}+\frac{(x-1)x(x-2)}{x-2}&=&x^2-2\
    (x+2)(x-2)+(x-1)x&=&x^2-2\
    x2-4+x2-x&=&x2-2 \Big|-x2+2\
    x^2-x-2=0$$

    Quadratische Gleichung mit Mitternachtsformel lösen:
    x1,2=1±1+82=1±32⇒x_1=2  x_2=−1x_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2}=\frac{1 \pm 3}{2} \Rightarrow x\_1=2\ \ x\_2=-1

    Allerdings ist x=2 eine Definitionslücke und somit doch keine Lösung.

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  • M

    [EDIT] Zu spät... [/EDIT]

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  • A

    CME386 schrieb:

    [EDIT] Zu spät... [/EDIT]

    Juhuu, Erster!! 😃 😃

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  • M

    Oh, danke, jetzt weiß ich, wie es geht.

    Aber wie kommt man auf sowas?
    Gedanklich ausprobieren?

    Oder kennt ihr solche Gleichungen aus Erfahrung?

    Oder sieht ihr auf Anhieb, dass das so immer gleich gut rauskommt?

    MfG MAV

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  • A

    Wenn man mit dem Hauptnenner durchmultipliziert fallen die Brüche weg. Wenn nur eine quadratische Gleichung übrigbleibt ist der Rest kein Problem.
    Bei höheren Graden wirds schwierig bis unmöglich.

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  • M

    was ist denn der Hauptnenner, wenn ich den rechten Teil einfach subtrahiere ist alles auf einer Seite, wie soll man dann den Hauptnenner erkennen?

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  • D

    das mit dem erweitern dürfte klar sein, das sieht man "einfach" so.

    dann ein bisschen umformen. nun kann man die formel zum auflösen der quadratischen gleichung brauchen.

    Wenn du eine Gleichung in der Form:
    ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 hast,
    kannst du diese Formel anwenden:

    x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

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  • M

    Ja, aber wie kommt man darauf, das man den rechtesten Bruch erweitert?
    Weil der Nenner die Meisten x-e hat? Weil er auf der rechten Seite der Gleichung steht? Weil er so sympathisch ist?

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  • M

    Mis2com schrieb:

    Weil er so sympathisch ist?

    Ja 😉

    Mal im Ernst:

    Ich habe mir angewöhnt, die Seiten immer zuerst separat voneinander zu rechnen. Und wenn du dann bei 2x2−x−4x2−2x=x2−2x2−2x\frac{2x^2-x-4}{x^2-2x}=\frac{x^2-2}{x^2-2x} bist, springt dir das förmlich ins Auge.

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  • L

    Du erweiterst nicht einen Bruch, sondern bringst alle auf den gleichen Nenner. Wenn du eine Gleichung mit Brüchen hast, musst du als erstes Versuchen die mal wegzubekommen. Dass der gemeinsame Nenner gerade der Nenner des "rechtesten" Bruchs ist, ist bloss ein glücklicher Zufall. Wenn alle Brüche den selben Nenner haben, kannst du mal diesen Nenner rechnen und du hast eine Gleichung ohne Brüche.

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  • M

    ja gut, aber es ist ja nun nicht so, dass, wenn man mit dem Nenner des rechtesten Bruchs multipliziert, dass dann die anderen Nennver wegfallen.
    Und mir springt da garnix ins Auge, was sollte da denn allgemein gesehen reinspringen?

    autsch

    mein Auge war irgendwie beschlagen oder so 😃

    OK, habs jetzt voll verstanden.

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  • L

    Mis2com schrieb:

    ja gut, aber es ist ja nun nicht so, dass, wenn man mit dem Nenner des rechtesten Bruchs multipliziert, dass dann die anderen Nennver wegfallen.

    Nicht?

    Na gut nochmal langsam:
    1. linke Seite vereinfachen und auf einen Bruchstrich schreiben.
    2. Wenn du das getan hast, siehst du doch, dass die Gleichung auf beiden seiten den gleichen Nenner hat. Und zwar x2-2x. Nun Multiplizierst du mit diesem Nenner, damit er wegfällt. Jetzt hast du eine einfache quadratische Gleichung. Diese kannst du nun auflösen.
    So einfach ist das.

    EDIT: Sorry ich habe nicht gesehen, dass du den Beitrag editiert hast und inzwischen alles Verstanden hast

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  • M

    \frac{2x^2-x-4}{{\bf x^2-2x}}=\frac{x^2-2}{{\bf x^2-2x}}
    Da ist zwei mal der gleiche Nenner!!!

    [EDIT] Schon wieder zu spät... [/EDIT]

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  • M

    Meint ihr es ist arg unmoralisch, wenn ich die Lösung, die ich dann selber kurz errechne, ins Heft nachtrage?

    lol, nachdem ich weiß wie es geht, dauert das keine Minute, jaja, denken nicht einfach viel schreiebn, wie ich es tat. 🙂

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  • W

    Es gibt viele Lösungswege! Ich hab's z.B. mit Partialbruchzerlegung des rechten Bruchs gemacht. Dann braucht man jedenfalls keine quadratische Gleichung zu lösen.

    @Mis2com: Merke dir: Wenn du eine Gleichung mit Brüchen hast, dann mache die Brüche weg! Brüche sind scheiße. Genauso wie Wurzeln. Alles weg.

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  • M

    Hau wech die Scheiße 🙂

    Gut zu wissen, nur wusste ich erst net, wie iöch döie öwegbekam, ne watt ne

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