f(x) = sqrt(x) keine Funktion?

[SG1]

Funktion vs. Abbildung, das Thema hatten wir doch letztens erst Naja, wegen nicht-funktionierender Suchfunktion will ich mal nicht so sein

Also erstmal vorweg: Was jetzt der genaue Unterschied ist, darueber sind sich die Mathematiker selber wohl nicht einig. Genauso, ob 0 eine natuerliche Zahl ist, oder nicht.

Um ueberhaupt von Abbildung oder Funktion sprechen zu koennen, braucht man eine Bildmenge und eine Urbildmenge. In der Schule ist beides wohl haeufig $\mathbb{R}$. Abbildungen und Funktionen ordnen Elementen der Urbildmenge Elemente der Bildmenge zu. Und zwar je nach Definition hoechstens eins oder genau eins. Manche Leute sprechen im ersten Fall von einer Abbildung und im zweiten von Funktion, andere Leute benutzen beides als Synonyme (und zwar mal in der einen, mal in der anderen Bedeutung, grrr...) In jedem Fall ist jede Funktion auch eine Abbildung.

$f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x) = \sqrt{x}$ waere also nach ersterer Definition eine Funktion, nach zweiterer nicht (dein Mathelehrer scheint die zweite zu verwenden)

$f \colon \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x) = \sqrt{x}$ ist nach beiden Definitionen eine Funktion, da die Wurzel fuer positive reelle Zahlen definiert ist. Um gleich noch ein paar mehr Begriffe einzustreuen, die Du eventuell demnaechst hoerst: Die Funktion ist injektiv, da jeder Funktionswert hoechstens einmal vorkommt, die Funktion ist aber nicht surjektiv, da es Elemente der Bildmenge gibt, die nie als Funktionswert vorkommen (-1 zum Beispiel). Um daraus eine surjektive Funktion zu machen, kann man z.B. den Bildbereich einschraenken:
$f \colon \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+$ mit $f(x) = \sqrt{x}$ ist surjektiv, da jetzt nur noch positive Zahlen im Bildbereich vorkommen, und alle positiven Zahlen auch Funktionswert sind.

In bestimmten Bereichen der Mathematik definiert man den Unterschied zwischen Funktion und Abbildung auch anders. Dort ist eine Funktion eine spezielle Abbildung mit speziellen Bild und Urbildbereich (z.B. $\mathbb{R}$). Ich finde diese Definition aber ehrlich gesagt unpraktisch.

<edit>mathbbm sieht hier irgendwie komisch aus, nehm ich halt mathbb...</edit>

[SG1]

So, was ist jetzt eine Folge? Eine Folge ist eine spezielle Funktion, naemlich eine Funktion mit dem Urbildbereich $\mathbb{N}$, fuer die man eine spezielle Schreibweise einfuehrt:
Sei beispielsweise $a \colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}$ mit $a(n) = \frac{1}{n}$ eine solche Funktion. Wenn man a jetzt als Folge betrachten will, so schreibt man fuer die einzelnen Funktionswerte/Folgenglieder nicht $a(n)$ sondern $a_n$.

[Mis2com]

OK, also injektiv bedeutet, dass es nur maximal einen Funktionswert gibt!?

Surjektiv bedeutet aber, dass es Elemente der Bildmenge gibt, die nie als Funktionswert vorkommen, brrr...

Hm, injektiv verstehe ich ja noch (auch wenn ich hier nicht verstehe, warum, ist das bei dir jetzt nur die positive Wurzel und nicht beide Fälle?)

Und f: R+ -> R

Bedeutet das jetzt, dass x nur in R+ vorhanden sein darf, dass f(x) nur in R+ vorhanden sein darf?
Und der rechte Teil (von R+ -> R)?
Bezieht der sich auf sqrt(x) oder nur auf x?

@Folge:
Und welcher Bildbereich verwendet wird, ist irrelevant?

[SG1]

Erstmal das einfache:

Mis2com schrieb:

@Folge:
Und welcher Bildbereich verwendet wird, ist irrelevant?

Ja.

[SG1]

Mis2com schrieb:

OK, also injektiv bedeutet, dass es nur maximal einen Funktionswert gibt!?

Nein, da hast Du was falsch verstanden. Injektiv heisst: Wenn y = f(x) ist, dann gibt es kein anderes x', dass auch den Funktionswert y hat.

Surjektiv bedeutet aber, dass es Elemente der Bildmenge gibt, die nie als Funktionswert vorkommen, brrr...

Nein, auch nicht. Das hatte ich als "nicht surjektiv" bezeichnet - surjektiv ist eine Funktion also, wenn jeder moegliche Funktionswert (also jedes Element der Bildmenge) auch wirklich Funktionswert ist.

ist das bei dir jetzt nur die positive Wurzel und nicht beide Fälle?

Die Wurzel ist definiert als "diejenige nicht-negative Zahl..." also eindeutig definiert.

Und f: R+ -> R

Bedeutet das jetzt, dass x nur in R+ vorhanden sein darf, dass f(x) nur in R+ vorhanden sein darf?
Und der rechte Teil (von R+ -> R)?
Bezieht der sich auf sqrt(x) oder nur auf x?

Das heisst, dass Werte aus R+ auf Werte aus R abgebildet werden. Der Urbildbereich (also wo die x herkommen) ist R+, der Bildbereich (wo theoretisch die f(x) herkommen koennen) ist R.

[Mis2com]

OK, also linke Seite von -> ist sozusagen der Bereich von x und der rechte von f(x), soweit klar.

Injektiv ist eine Funktion, wenn ein Funktionswert nur durch entweder gar keins oder genau 1 Wert für x erricht werden kann, ja?

Und Subjektiv bedeutet, dass jeder Funktionswert vorkommen kann wobei x natürlich im Urbildbereich liegen muss.

Bei f: R -> Q

wäre der Urbildbereich der, der reellen Zahlen, und der Bildbereich der, der rationalen Zahlen, ja?

Also stimmt das soweit?

[lustig]

Anstatt Urbildbereich und Bildbereich kann man auch Wertebereich und Definitionsbereich sagen. Eine Funktion ordnet jedem Element aus dem Wertebereich genau ein Element aus dem Definitionsbereich zu. Einfach um diese zwei Begriffe zu gebrauchen, falls dein Lehrer die verwendet.

[WebFritzi]

@Mis2com: Jetzt hör mal einem Mathestudi zu. Die anderen hier bringen dich nur durcheinander. Den Begriff "injektiv" hast du schon ganz richtig verstanden. Aber bei "surjektiv" hast du scheinbar noch Probleme. Mal angenommen, wir haben konkret eine Funktion f:X->Y gegeben. Dann heißt X der Definitions- oder Urbildbereich. Statt "Bereich" kannst du auch "Menge" sagen. Für die Menge Y gibt es keinen Namen. Man kann Y i.A. nicht Bildbereich nennen, denn es kann ja y-Werte aus Y geben, für die es kein x aus X gibt mit f(x) = y. In diesem Falle ist die Funktion nicht surjektiv. Beispiel: f:|R->|R mit f(x):=x^2. Es gibt kein x aus |R, so dass f(x) = -2. Daher ist |R nicht der Bildbereich der Funktion. Dieser ist |R⁺υ{0}. Die Funktion ist also nicht surjektiv. Eine Funktion f:X->Y heißt surjektiv, wenn der Bildbereich (den man auch mit f(X) bezeichnet) mit Y zusammenfällt (das gleiche wie Y ist). Ein Beispiel für eine surjektive Funktion wäre z.B. f:|R->|R mit f(x):=x.

[Mis2com]

ups, jetzt hast du mich verwirrt, aber egal. ^^

[WebFritzi]

Wirklich? Was ist dir denn unklar?

[Mis2com]

Blamm, also mal schaun

WebFritzi schrieb:

@Mis2com: Jetzt hör mal einem Mathestudi zu. Die anderen hier bringen dich nur durcheinander. Den Begriff "injektiv" hast du schon ganz richtig verstanden. Aber bei "surjektiv" hast du scheinbar noch Probleme. Mal angenommen, wir haben konkret eine Funktion f:X->Y gegeben. Dann heißt X der Definitions- oder Urbildbereich. Statt "Bereich" kannst du auch "Menge" sagen. Für die Menge Y gibt es keinen Namen. Man kann Y i.A. nicht Bildbereich nennen, denn es kann ja y-Werte aus Y geben, für die es kein x aus X gibt mit f(x) = y.

Erstmak verstehe ich den Zusammenhang dazwischen, dass man das nicht Bildbereich nennen kann, und, weil es y-Werte aus Y geben kann, für die es kein y gibt.
Obwohl ist klar, das geht nur, wenn das Teil surjektiv ist, weil es dann garantiert alles gibt!?
Oder?

In diesem Falle ist die Funktion nicht surjektiv. Beispiel: f:|R->|R mit f(x):=x^2.

Hö? Der Betrag von R-> ? Was soll das sein, oder soll das was Anderes heißen?

Es gibt kein x aus |R, so dass f(x) = -2. Daher ist |R nicht der Bildbereich der Funktion.

Ach klar, also auch nicht surjektiv, oder?

Dieser ist |R⁺υ{0}. Die Funktion ist also nicht surjektiv. Eine Funktion f:X->Y heißt surjektiv, wenn der Bildbereich (den man auch mit f(X) bezeichnet) mit Y zusammenfällt (das gleiche wie Y ist). Ein Beispiel für eine surjektive Funktion wäre z.B. f:|R->|R mit f(x):=x.

Da versteh ich garnixy ^^

[WebFritzi]

Mis2com schrieb:

Erstmal verstehe ich den Zusammenhang dazwischen, dass man das nicht Bildbereich nennen kann, und, weil es y-Werte aus Y geben kann, für die es kein y gibt.

Ich hab das nicht geschrieben, damit du es überfliegst, sondern damit du es gründlich durchliest. "kein x gibt" muss es heißen!

Mis2com schrieb:

In diesem Falle ist die Funktion nicht surjektiv. Beispiel: f:|R->|R mit f(x):=x^2.

Hö? Der Betrag von R-> ? Was soll das sein, oder soll das was Anderes heißen?

|R soll $\mathbf{R}$ bedeuten. Du weißt doch, dass die Zahlenmengen immer mit einem fetten Balken geschrieben werden, oder?

Mis2com schrieb:

Es gibt kein x aus |R, so dass f(x) = -2. Daher ist |R nicht der Bildbereich der Funktion.

Ach klar, also auch nicht surjektiv, oder?

Genau!

Mis2com schrieb:

Dieser ist |R⁺υ{0}. Die Funktion ist also nicht surjektiv. Eine Funktion f:X->Y heißt surjektiv, wenn der Bildbereich (den man auch mit f(X) bezeichnet) mit Y zusammenfällt (das gleiche wie Y ist). Ein Beispiel für eine surjektive Funktion wäre z.B. f:|R->|R mit f(x):=x.

Da versteh ich garnixy

Zum R⁺υ{0}: R⁺ ist die Menge aller positiven reellen Zahlen. υ ist das Vereinigungszeichen. Sind M und N zwei Mengen, so ist MυN die Menge aller Elemente aus M oder N. In Zeichen: MυN := {x : x in M oder x in N}. {0} ist die Menge, die nur das Element 0 enthält. Somit ist R⁺υ{0} die Menge aller positiven reellen Zahlen und der Null.
Zum Bldbereich: Der Bildbereich (oder Wertebereich) einer Funktion f:X->Y ist die Menge aller y aus Y, zu denen es ein x aus X gibt mit f(x) = y. In Zeichen: {y aus Y : Es gibt ein x aus X mit f(x) = y}.
Damit dürftest auch meine Definition von Surjektivität verstehen.

Die Mathematik erfordert Sorgfältigkeit. Also lies dir alles langsam und sorgfältig durch. Dann wirst du es auch verstehen.

[Mis2com]

f(x) = 5 ist nicht injektiv?

[WebFritzi]

Du musst doch erstmal sagen, von wo nach wo die Funktion gehen soll. Ohne das kannst du keine Aussage über die Surjektivität machen.

[Mis2com]

War ja auch eine Frage über die Injektivität!

Ok, aber:

f: |N -> |N

ist doch egal

[WebFritzi]

Ist nicht egal, denn f: |N->{5}, f(n) = 5, ist injektiv!

[Mis2com]

ok, dann habe ich es jetzt eben umso mehr verstanden.

[WebFritzi]

O Gott! Ich seh, dass ich grad selber injektiv und surjektiv verwechselt habe. Also die von dir angegebene Funktion f(x) = 5 ist von |N nach |N injektiv, aber nicht surjektiv. Von |N nach {5} ist sie injektiv und surjektiv (das nennt man dann bijektiv).

[Mis2com]

Von |N nach {5} surjektiv?

Hmmm

Also x muss in den |N sein und f(x) muss 5 sein.

Dafür gilt aber nur x = 5

D.h. die Funktion hat nur Elemente, für die es einen Funktionswert gibt, ist daher also surjektiv, weil jedes Teil aus dem Bildbereich (hier 5) auch als FUnktionswert rauskommt, was ja stimmt.
Injektiv ist das Teil auch, weil es kein anderes x außer 5 gibt, für das f(x) = 5 ist...

Ja?

[WebFritzi]

Mis2com schrieb:

D.h. die Funktion hat nur Elemente, für die es einen Funktionswert gibt, ist daher also surjektiv, weil jedes Teil aus dem Bildbereich (hier 5) auch als FUnktionswert rauskommt, was ja stimmt.

Ich dachte erst, du hättest es geschnallt. Aber dann doch nicht!

Injektiv ist das Teil auch, weil es kein anderes x außer 5 gibt, für das f(x) = 5 ist...

Quatsch! f(6) ist auch 5. f(x) = 5 heißt die Funktion. D.h., alle x aus |N werden auf 5 abgebildet.