näherungsweise Lösung einer Gleichung

[Zickedi]

Gleichung ist: $\cos{x} - 2x^2 = 0$

Ersetzung des cos durch Potenzreihe; sie wird nach 2.Potenz abgebrochen:
$\cos{x}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}$

also neue Gleichung:
$x^4 - 60x^2 + 24 = 0$

nach Subst. und R.S. bekommt man 4 Lösungen:
$x_{1/2} \approx \pm \, 7,72$
$x_{3/4} \approx \pm \, 0,635$

Hier gilt aber nur die 2. Lösung. (+- 0,635) Wieso ?
7,72 in die Anfangsgleichung eingesetzt, weicht ziemlich von 0 ab.

Klärt mich mal auf.

[Bashar]

Wenn du die Potenzreihe bei x=0 entwickelst und schon nach dem 4. Glied abbrichst, darfst du dich nicht wundern, wenn Lösungen, die weit von 0 weg sind, nicht mehr stimmen.

[Zickedi]

In diesem Fall ist das doch möglich ?
Es ist bel. oft differenzierbar an der Stelle x=0.

Ist es dann besser eine Taylor Reihe zu finden ?
An welcher Stelle denn ?

[Taurin]

Schlag mal in einem Mathebuch nach dem Begriff Restgliedformel nach. Da
wird beschrieben, wie man den maximalen Fehler abschätzen kann. Müsst ich
jetzt aber auch erst nachschauen

[Zickedi]

Restglied nach Lagrange:
$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}$

Wüsste jetzt aber nicht was die mir bringt.

Wenn ich die Reihe weiter laufen lasse als das 4.Glied, bekomme ich doch große potenzen. Wie löst man solche Gleichungen dann überhaupt ?
10malige Substitution ?

[Jester]

Das Problem liegt darin, daß die Näherungsformel nur für relativ kleine Zahlen gut ist. Wenn man sich die Potenzreihe des cos mal anschaut, dann sieht man, daß für Zahlen kleiner 1 der Zähler des Bruches gegen 0 geht und der Nenner gegen ∞. Das heißt die einzelnen Summanden gehen ziemlich flott gegen 0. Wenn jetzt aber x>1 ist, dann wachsen die Zähler auch gegen unendlich und das ganze "konvergiert erst wesentlich später".

MfG Jester