Komme in einem Beweis nicht weiter...

[WebFritzi]

Jetzt hab ich mal ne Aufgabe für euch. Ich gehe gerade einen Beweis durch und bleibe an einer Stelle heftig hängen. Also: T ist eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum X, also T: X -> X. X kann auch unendlich-dimensional sein! Wir wollen hier mal das Bild einer linearen Abbildung F mit R(F) bezeichnen. Also, die Behauptung ist jetzt:

$T\biggl( \bigcap_{n=1}^\infty R(T^n)\biggr) = \bigcap_{n=1}^\infty R(T^n)$

Dass $\subset$ stimmt, ist klar. Das ist immer so für jede Abbildung und jeden Schnitt von Mengen. Die Umkehrung krieg ich aber einfach nicht hin. Würde mich freuen, wenn jemand mir helfen könnte. Danke!

[WebFritzi]

Ich hab's! Hab heute 2 Stunden lang mit meinem Assi drübergesessen. Ich hätte vielleicht noch sagen sollen, dass der Kern N(T) endlich dimensional sein soll. T ist nämlich ein sogenannter Fredholmoperator. Also, das ganze geht so: Sei V der Schnitt der Bilder der Potenzen von T (so wie oben). Dann ist zu zeigen $V\subset T(V)$. Sei dazu $v\in V$ beliebig. Wir müssen nun ein $x\in V$ finden, so dass v = Tx bzw. $x\in T^{-1}\{v\}$. Anders ausgedrückt heißt das, dass wir $T^{-1}\{v\}\cap V\neq \emptyset$ zeigen müssen. Es ist $v\in V$, insbesondere $v\in R(T)$. Es gibt also ein $u\in X$, so dass Tu = v. Damit folgt $T^{-1}\{v\} = \{x\in X : Tx = v = Tu\} = \{x\in X : T(x-u) = 0\} =$$\{x\in X : x-u\in N(T)\} = u + N(T)$. Und das ist (da N(T) ja endlichdimensional ist) ein endlichdimensionaler affiner Raum. Das gilt dann auch für die affinen Räume $T^{-1}\{v\}\cap R(T^n)$. Wegen R(T^{n+1}) \subset R(T^n) \subset R(T^{n-1}) \subset \dots werden diese Räume immer kleiner. Es gibt somit ein $m\in\mathbf{N}$, so dass $T^{-1}\{v\} \cap R(T^m) = T^{-1}\{v\} \cap R(T^{m+k})$ für alle $k\ge 0$. Schneiden wir alle diese Mengen (k = 0, 1, 2, ...), dann folgt $T^{-1}\{v\} \cap R(T^m) = T^{-1}\{v\} \cap V$. Aber $T^{-1}\{v\} \cap R(T^m)$ ist nicht leer, denn $v\in R(T^{m+1})$, d.h., es existiert $x\in R(T^m)$ mit v = Tx, woraus auch $x\in T^{-1}\{v\}$ folgt. Fertig!

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Studierst du Mathe WebFritzi?

[WebFurzi]

jo

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WebFurzi schrieb:

jo

woran hab ich das wohl erkannt?
respekt respekt

[WebFritzi]

Ja, tu ich.