4. Volumina

Volumina

  • ?

    Hallo zusammen!

    Meine Nichte hat heute ne Aufgabe bekommen, bei der auch ich nicht
    weiter komme.
    Also:

    Stefan will ein quaderförmige Haus aus lauter gleichartigen Würfel
    bauen. Das quaderförmige Haus steht dabei auf einer quadratischen
    Grundfläche. Die Anzahl der Würfel, die der Luft ausgestzt sind, ist
    halb so groß, wie die Anzahl aller Würfel. Aus wie vielen Steinen kann
    das Denkmal bestehen?

    Meine Überlegungen:

    Es heißt ja, dass die Anzahl der sichtbaren halb so groß ist wie die
    Anzahl aller Würfel. => Die Anzahl der nicht sichtbaren/inneren Würfel
    ist ebenso halb so groß
    wie die Anzahl aller Würfel.

    Formel für alle:

    a^2 * b

    Formel für innere Würfel:

    (a-2)2*(b-1)=0,5a2*b | wobei a=Länge=Breite (-->quadr.
    Grundfläche) und b = Höhe

    Aber wie bekomme ich jetzt weiter eine Anzahl raus?

    P.s. Ich habe Abi und habe BWL studiert, kriegs aber einfach nicht
    raus!

    Grüße

    Holger

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  • O

    //gelöscht

    neuanfang^^

    erstmal schaun wir an was wir wissen:
    die form ist ein quader,von dem wir die unter und die oberseite kenne(quadratisch)

    also ist der Rauminhalt 2x²*4xy
    so, und nu rechne ich gleich mal weiter
    imho is die gleichung unlösbar, wenn wir nich wenigstens eine zahl bekommen...

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  • J

    @otze: das ist quatsch, ein Quader hat eine Höhe, eine Breite und eine Länge, alls sind endlich, also ist der Quader nicht unendlich groß. So ist ein Quader nunmal definiert.

    edit: nein, sie ist dann nicht unlösbar, sie ist nur nicht eindeutig lösbar, möglicherweise gibts mehrere Lösungen.

    Volumen eines Quaders ist V=a*b*c, wobei in diesem Fall die Grundfläche quadratisch ist, also a=c, folglich gilt hier: V=a^2b (daher stammt übrigens das Quadrat).
    So und die eingeschlossenen Steine sind (a-2)^2    (b-1) Stück und das soll genau die Hälfte der vorherigen sein.
    Also 2*(a-2)^2*(b-1) = a^2*b. wie oben bereits gesagt. Ich würde sagen jetzt sollte man mal versuchen a fest anzunehmen und dann das passende b auszurechnen. (oder auch umgekehrt, dürfte aber schwieriger sein). Danach muß man nur noch nach Lösungen suchen, die ganzzahlig sind. Leider habe ich im Moment keine Zeit, vielleicht später. 😞

    MfG Jester

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  • ?

    So weit bin ich ja auch! Aber danke trotzdem! Aber jetzt dann weiter? Meine Nichte lacht sich schon tot, weil ich behauptet hätte, kein Problem für mich 😞

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  • B

    Stichwort Diophantische Gleichung.

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  • ?

    Ja, hab ich auch schon versucht! Aber 2 Variable ---> 2 Gleichungen

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  • L

    [EDIT]War wohl nichts...[/EDIT]

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  • O

    also wenn die fläche unten quadratisch ist dann teile sie doch auf in kleine quadrate solange bis die äußeren quadrate weniger sind als die inneren. ich hab das in 64 quadrate aufgeteilt. ergibt also auf der grundfläche 64 würfel. die oberste schicht hat also 64 würfel die an der luft sind. die darunter 28 würfel die an der luft sind und 36 innen also:

    64 + 28 * x = 36 * x

    ergibt x = 8 oder 9 lagen würfel

    EDIT: also 288 innen und 288 aussen

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  • ?

    Hat sich erledigt- habs selbst herausbekommen!

    Danke!

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  • W

    7 x 7 Würfel unten und 100 Würfel in die Höhe zum Bleistift. Das sind erstmal 2 x 7 x 100 = 1400 Stück vorne und hinten, dann noch 2 x 5 x 100 = 1000 Stück rechts und links und schließlich noch 2 x 5 x 5 = 50 Stück unten und oben. Insgesamt: 1400 + 1000 + 50 = 2450. Das ist genau die Hälfte von 7 x 7 x 100 = 4900. 😉

    Ist a2 die Anzahl der Würfel in der unteren Fläche (a also die Breite bzw. Tiefe), dann muss für die Anzahl h der Würfel, die in die Höhe ragen, gelten:

    h=4⋅(a−2)2(a−4)2−8h = 4\cdot\frac{(a-2)^2}{(a-4)^2-8}

    Das heißt, a muss auf jeden Fall schonmal größer als 7 sein, damit der Ausdruck unter dem Bruchstrich positiv ist. Weiter muss der Ausdruck rechts vom Gleichheitszeichen eine natürlich Zahl sein. Da sind jetze wieder mal die Algebraiker gefragt. *Brüll* JESTER....

    EDIT: Onlines Lösung war mit a = 8.

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  • J

    Ja, ich werd im Laufe des Tages mal drüber nachdenken 🙂
    Bis dann...

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  • J

    Hab's mir jetzt mal ne Runde angeschaut, allerdings ohne Algebra... ab dem interessanten Bereich a=7 fällt das Ding ja monoton. das heißt, die möglichen Lösungen sind sehr eingeschränkt. Nächste Gelegenheit ist ja 8, da paßt's gerade. Das ergibt als Auswertung ja 18. Okay, das heißt es kommen nur noch Lösungen <=17 in Frage. Das sind so wenige, daß man sie mit ausprobieren ausschließen kann... nicht sehr mathematisch, aber es funktioniert.

    MfG Jester

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  • B

    in de.sci.mathematik gibts den Thread übrigens auch (gleicher Autor, gleiches Subject)

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  • W

    Jester schrieb:

    nicht sehr mathematisch

    Was ist daran nicht mathematisch? Ist doch super! Das ist die Lösung! Ein Hoch auf Jester. 🙂

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