12-Eck in Kreis mit r = 3cm

ChrisM

Hi,

wir haben heute eine Mathearbeit geschrieben und eine Aufgabe war, die Kantenlänge eines in einen Kreis mit dem Radius r = 3cm eingeschrieben 12-Ecks zu berechnen. Eigentlich hatte unser Lehrer das so geplant, dass wir den Kreis in 6-Ecke teilen (die ja dank der drei gleichen Winkel auch seitengleich sind und damit eine Kantenlänge von r haben) und dann per Archimedes-Verfahren auf die Kantenlänge eines 12-Ecks kommen.

Ich wollte es aber mit Sinus machen.

Also hab ich gerechnet:
sin(180° / 12) * 3cm

Die 3cm habe ich dann noch zusätzlich so begründet, dass die zentrische Streckung, die ja bei einem Kreis bei Radiusänderung gilt, Strecken linear vergrößert, obwohl ich natürlich nicht weiß ob das stimmt (sollte aber stimmen, ist ja logisch).

Jetzt die Frage: Stimmt es so und welchem rechnerischen Wert entspricht der Sinus? Gibt's da vielleicht irgendeine Lösung mit Wurzeln oder sonstwas, um das Ganze genau anzugeben?

ChrisM

Eßer

Fast.

Die Seitenlänge a eines regelmäßigen n-Ecks mit dem "Radius" (mir fällt grad nicht der richtige Begriff ein, shame on me) r ist

a = \sin\left(\frac{360°}{2n}\right) * 2r

Begründung:

Wenn wir alle Eckpunkte mit dem Mittelpunkt verbinden, erhalten wir n Dreiecke mir t dem Winkel \alpha = \frac{360°}{n} .

Wenn wir die Winkelhalbierende von $\alpha$ bzw. die Mittelsenkrechte der Seite a zeichnen, erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck für das gilt:

\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a}{2r} \Leftrightarrow a = \sin\left(\frac{360°}{2n}\right) * 2r

Mis2com

Hm, das kann ich auch gebrauchen, also kann man dann durch den Radius ausrechnen, wie lang eine Kante (wobei es hier n Kanten gibt und ein z.B. Dreieck 3 Kanten hätte) ist?

PS: Nennt man das nicht Umfasser?

Eßer

Mis2com schrieb:

Hm, das kann ich auch gebrauchen, also kann man dann durch den Radius ausrechnen, wie lang eine Kante (wobei es hier n Kanten gibt und ein z.B. Dreieck 3 Kanten hätte) ist?

Jo, aber nur im regelmäßigen n-Eck, d.h. alle Seiten und Winkel müssen gleich sein.

Mis2com schrieb:

PS: Nennt man das nicht Umfasser?

ka.

Auf jeden fall ist es die Strecke vom Mittelpunkt ( = Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten bzw. Winkelhalbierenden) zu einer beliebigen Ecke.

Mis2com

achso, das meinste, hm...

Ja, ich dachte auch an ein regelmäßiges n-Eck, klar, dass man das theoretisch verbiegen kann bis zum Geht-Nicht-Mehr.

Christoph

btw, @Eßer:
Die LaTeX-Klammern sehen schöner aus, wenn man \left vor die linken und \right vor die rechten schreibt. Multiplikation ist \cdot.

Ohne: a = \sin(\frac{360°}{2n}) * 2r

Mit: a = \sin\left(\frac{360°}{2n}\right) \cdot 2r

p.s.: Hmmm... das °-Zeichen wird nicht dargestellt. Kennt jemand den Befehl dafür?

ChrisM

Hi,

danke, ich denke morgen krieg ich Arbeit raus! Also Daumen drücken

ChrisM

Bloops

so: $360^\circ$

@ChrisM: *daumendrück*

ChrisM

Hi,

immer noch nicht rausgekriegt, das wird diese Woche nichts mehr (Lehrer sind auch wegen Abi-Korrekturen unter Stress)...

ChrisM

Eßer

@cd9000: Danke für den Tipp.

@ChrisM: Viel Glück!