4. Abschätzung

Abschätzung

  • H

    Hallo,
    kann mir einer erklären warum:

    limn→∞n∗(21n−1)\lim_{n \to \infty}n*\left(2^{\frac{1}{n}}-1\right)

    gleich ln 2 ist?

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  • T

    Zuerst stellst du um

    lim (2^(1/n) - 1) / (n^(-1))

    Damit hast du quasi 0 durch 0 stehen, womit der Grenzwert nach l'Hospital gleich

    lim (2^(1/n) - 1)' / (n^(-1))'

    Nach differenzieren und umformen erhällst du

    lim 2^(1/n) * ln(2)

    für n gegen undendlich ist das dann das ergebnis: ln 2

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  • W

    Hi, hier stehts drin: http://www.math.jhu.edu/~fspinu/109/week9-sol.pdf (unter "Friday Morning")

    Edit: Zu spät

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  • H

    Cool. Danke.
    Der l'Hospital war mir nicht mehr in Erinnerung.

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  • T

    HumeSikkins schrieb:

    Der l'Hospital war mir nicht mehr in Erinnerung.

    Schrecklich, wenn das Grundstudium schon so lange her ist 🙂

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  • W

    Kaputte Welt. Er kennt ihn nicht mehr und ich darf ihn in Klausuren noch nicht benutzen, weil er ja offiziell noch nicht dran war 😉 .

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  • T

    MaSTaH schrieb:

    Kaputte Welt. Er kennt ihn nicht mehr und ich darf ihn in Klausuren noch nicht benutzen, weil er ja offiziell noch nicht dran war 😉 .

    Das leben ist schon eins der härtesten...

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  • J

    MaSTaH schrieb:

    Kaputte Welt. Er kennt ihn nicht mehr und ich darf ihn in Klausuren noch nicht benutzen, weil er ja offiziell noch nicht dran war 😉 .

    Ich mach das immer so, dass ich irgendwann, wenn's mal passt, im Unterricht erwähne, dass man das ja auch irgendwie anders machen kann, z.B. ja über l'Hospital. Dann schieb ich noch die Frage hinterher, ob ich das denn so rechnen dürfe, wenn es mal zufällig passt. Was soll der Herr Lehrer da sagen? 🤡
    An deiner Stelle würd ich sowas einfach machen! Soll er dir's als falsch anstreichen? Kann er ja wohl kaum machen...

    BTW: Wisst ihr denn auch, wie man den Namen richtig ausspricht? 😉

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  • W

    Jan schrieb:

    An deiner Stelle würd ich sowas einfach machen! Soll er dir's als falsch anstreichen? Kann er ja wohl kaum machen...

    Das Problem ist, dass der Prof, bzw. der korrigierende Assi weiß dass wir l'Hospital noch nicht in der Vorlesung hatten und dementsprechend die Aufgabe dann als nicht erfüllt ansieht, weil uns vorgeschrieben ist nur die bereits behandelten Mittel zu verwenden. Die bauen bei uns die gesamte Analysis axiomatisch auf, was teilweise auch ein wenig lahmarschig und kleinschrittig ist. Das soll nicht heißen, dass wir jeden Kinderkram bis ins Detail aufbauen. An manchen Stellen würgen die uns auch richtig fiese Themen rein und schmeißen uns ins kalte Wasser ;). Das Paradoxe an der Sache ist, dass wir in der Numerik Sachen anwenden, die offiziell noch nicht in der Analysis vorgekommen sind. So durften wir bis Dezember in unseren Analysisübungen so tun, als könnten wir nicht differenzieren, mussten es aber in der Numerik von Anfang an tun 😃 .

    Jan schrieb:

    BTW: Wisst ihr denn auch, wie man den Namen richtig ausspricht? 😉

    Lohpitall, französisch halt *g*.

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  • W

    Den L'Hospital dürft ihr hier aber genaugenommen garnicht anwenden, denn der ist nur für differenzierbare Funktionen von |R nach |R definiert. Die Funktion

    n→n∗(21n−1)n \to n*\left(2^{\frac{1}{n}}-1\right)

    geht aber von |N nach |R. Ihr müsstet also noch beweisen, dass es auch für n→∞n\to\infty stimmt, wenn es für x→∞x\to\infty stimmt.

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  • W

    Ist doch eigentlich klar, weil |N ja eine Teilmenge von |R ist. Wir nehmen einfach an, dass die Funktion von |R nach |R geht. Wie würdest du das denn zeigen (nur grob)? Das interessiert mich jetzt.

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  • T

    Warum müssen Mathematiker immer Haare spalten? 😃
    Reicht es hier nicht wirklich schon, dass |N Teilmenge von |R ?
    Wenn es nicht reicht, kannst du vielleicht ein Beispiel für eine Folge
    konztruieren, die - wenn man l'Hospital drauf anwendet - einen falschen
    Grenzwert "annimmt"?

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  • W

    Taurin schrieb:

    Wenn es nicht reicht, kannst du vielleicht ein Beispiel für eine Folge
    konztruieren, die - wenn man l'Hospital drauf anwendet - einen falschen
    Grenzwert "annimmt"?

    Kann ich natürlich nicht, weil es die nicht gibt, denn limx→∞f(x)\lim_{x\to\infty}f(x) existiert genau dann, wenn für jede Folge (xn)(x_n) mit xn→∞x_n\to\infty der Grenzwert limn→∞f(xn)\lim_{n\to\infty}f(x_n) existiert, und dieser für alle diese Folgen gleich ist.
    Und das ist genau der Grund, warum man so vorgehen kann wie ihr, denn xn:=nx_n := n ist eine Folge mit xn→∞x_n\to\infty und L'Hospital sagt uns, dass limx→∞f(x)lim_{x\to\infty}f(x) existiert. Also existiert auch limn→∞f(x_n)=lim_n→∞f(n)lim_{n\to\infty}f(x\_n) = lim\_{n\to\infty}f(n), und der Grenzwert ist der gleiche wie der, den wir mit der Regel von De L'Hospital ermittelt haben.

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  • T

    Ah, ok. Hätte mich sehr gewundert, wenn was anderes raus gekommen wäre.
    Kannst du mir vielleicht noch mal erklären, warum man den Umweg über Folgen
    bei der Definition des Grenzwertes macht? Das hab ich schon in der Vorlsung nicht
    ganz begriffen 🙂

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  • S

    Wie wuerdest Du den Grenzwert denn formal definieren?

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  • W

    Der Grenzwert wurde bei uns afaik so in der Art über Folgen definiert: Sei an eine reelle Folge mit Grenzwert a. Für alle N(ε) aus |N gibt es ein ε > 0 aus |R, so dass für jedes n aus |N mit n > N(ε) gilt: |an-a| < ε

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  • W

    MaSTaH schrieb:

    Der Grenzwert wurde bei uns afaik so in der Art über Folgen definiert: Sei an eine reelle Folge mit Grenzwert a. Für alle N(ε) aus |N gibt es ein ε > 0 aus |R, so dass für jedes n aus |N mit n > N(ε) gilt: |an-a| < ε

    Fast. Es geht so: Die Folge (an)(a_n) hat genau dann den Grenzwert a, wenn es für jedes ε>0\varepsilon > 0 ein N∈NN\in\mathbf{N} gibt, so dass ∣an−a∣<ε|a_n - a| < \varepsilon für alle n≥Nn \ge N. Das definiert die Konvergenz einer Folge.
    Man kann Grenzwerte der Form limx→af(x)\lim_{x\to a}f(x) nun über Folgen oder ebenso ein ε−δ−\varepsilon - \delta - Kriterium definieren.

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