4. konnex

konnex


  • so ganz kriege ich die definition von konnex nicht in den kopf.

    eine relation R heißt konnex, wenn für alle x,y gilt:
    (x, y) element R oder (y, x) element R, d.h. jedes paar von elementen (x,y) gehört zu R oder R transponiert.

    mit anderen worten: bei eine menge M{a,b,c} habe ich also entweder {a,b} in der relation, oder (b,a}, so daß in der transponierten je das gegenteil steht?

    ich kann mir also die relation R und R transponiert als eine "Gesamtmenge" vorstellen, in der jeweils ein paar in jeder Reihenfolge vorkommen muss, also die Gesamtmenge braucht zwingend {a,b} und {b, a}?

    ist dann zwingend, daß es jedes paar von elementen geben muss in R, egal in welcher reihenfolgen, da es ja dann in R transponiert nocheinmal vorkommt?

    gibt es da noch mehr auswirkungen auf die R und R transponiert... hmm sieht so aus, als ob es dann symetrisch ist, wenn konnex gilt, reflexiv nicht unbedingt, kann muss nicht, hmm

    selbstgespräche...

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  • ?

    hallo,

    ich hab vor einiger zeit mal das wort konnex gehört und hoffe dir weiterhelfen zu könnnen, auch wenn ich jetzt da doch zu wenig ahnung hab, dir die fragen zu beantwortetn.
    ich habe das damals so verstanden, dass konnex heißt:
    lässt sich der realtion zuweisen. ich kann zu einem gegebenen ausdruck also sagen, ja der stimmt, oder nein der stimmt nicht. also in deinem fall wäre das
    "ich weiß was konnex ist" ist in "richtig" oder
    "ich weiß was konnex ist" ist in "richtig"-transponiert = "falsch".
    es kann nicht vorkommen, dass man nicht weiß ob es richtig oder falsch ist.

    selbsterklärungen ... 😉

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  • J

    elise schrieb:

    eine relation R heißt konnex, wenn für alle x,y gilt:
    (x, y) element R oder (y, x) element R, d.h. jedes paar von elementen (x,y) gehört zu R oder R transponiert.

    Ich kenne diese Eigenschaft zwar nicht unter diesem Namen, aber ich kann mir halbwegs vorstellen, aber ich gehe hier einfach mal strikt nach Definition.

    elise schrieb:

    mit anderen worten: bei eine menge M{a,b,c} habe ich also entweder {a,b} in der relation, oder (b,a}, so daß in der transponierten je das gegenteil steht?

    Ich denke schon... ich versuchs jetzt einfach mal zu beweisen:

    Wir nehmen mal ne Relation R teilmenge AxA. Sind jetzt a,b aus A. Dann ist (a,b) oder (b,a) in AxA. O.b.d.A. nehmen wir mal an: (a,b) sei drin (sonst benennen wir a und b einfach um ;)). Dann ist deswegen (b,a) in RT.
    Also haben wir (a,b) und (b,a) in der Vereinigung der Relationen R und RT

    Ich hoffe, das hattest Du gemeint. Mit dem Begriff Gegenteil wär ich an dieser Stelle vorsichtig. Gegenteil von (a,b) in Relation heißt für mich soviel wie (a,b) nicht in Relation. Transponieren sagt aber: (b,a) in Relation transponiert.

    elise schrieb:

    ich kann mir also die relation R und R transponiert als eine "Gesamtmenge" vorstellen, in der jeweils ein paar in jeder Reihenfolge vorkommen muss, also die Gesamtmenge braucht zwingend {a,b} und {b, a}?

    Ja, das hab ich hoffentlich grad bewiesen. 😉
    Wobei es (a,b) und (b,a) heißen muß, weil es Tupel sind. {a,b} und {b,a} sind als Mengen nämlich gleich. Aber das tut hier wohl nix zur Sache.

    [quote="elise"]
    ist dann zwingend, daß es jedes paar von elementen geben muss in R, egal in welcher reihenfolgen, da es ja dann in R transponiert nocheinmal vorkommt?

    Das ist meiner Meinung nach genau die Aussage von konnex: Daß entweder (a,b) in R oder (b,a) in R ist.

    [quote="elise"]
    gibt es da noch mehr auswirkungen auf die R und R transponiert... hmm sieht so aus, als ob es dann symetrisch ist, wenn konnex gilt, reflexiv nicht unbedingt, kann muss nicht, hmm

    Nein, symmetrisch muß es nicht sein. Nehmen wir mal an, R sei eine Relation teilmenge AxA. R sei konnex und symmetrisch. a,b aus A. konnex sagt: (a,b) oder (b,a) in R. Symmetrie sagt: das jeweils andere ist auch drin. Damit ist eine konnexe symmetrische Relation die Relation, die alle Paare enthält.

    Reflexiv muß sie meiner Ansicht nach schon sein: a aus A, dann (a,a) oder (a,a) <- hier hab ich die beiden a vertausch(!) 😃 steckt in R, laut konnex. Also (a,a) in R.

    Ich hoffe, das hilft Dir schonmal weiter.
    Ansonsten vielleicht noch ein paar Beispiele:

    Konnex: ≤, nicht konnex: < jeweils über den reellen Zahlen oder so.
    Oder auch nicht konnex: Teilengenrelation von Mengen.
    Konnex: Teilmengenrelation von Mengen, die ineinander enthalten sind.

    MfG Jester

    P.S.: Ich hoffe dadraus wird irgendjemand schlau.

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  • vielen dank für die beiden erklärungen 🙂

    jetzt werde ich das in meinen kopf mal einbasteln.

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  • nur noch eine frage:

    das die Relation

    { (a,b) ,(a,c) , (b,c)} über der Menge a,b,c konnex ist, ist mir jetzt klar.

    aber ist sie dann auch so konnex?

    { (a,b), (b,a), (a,c), (c,a) , (b,c), (c,b) } ??

    meine vermutung: logisch ja.

    weil alle elemente genauso in der R transponiert vorkommen.

    nur zur sicherheit...

    und danke.

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  • J

    Ja, die ist auch konnex.

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  • so, jetzt gibt es ein problem:

    nach meinen beispielen in den unterlagen muss das nicht sein:

    Reflexiv muß sie meiner Ansicht nach schon sein: a aus A, dann (a,a) oder (a,a) <- hier hab ich die beiden a vertausch(!) steckt in R, laut konnex. Also (a,a) in R.

    nein, diese ist konnex:

    R:{ (b,a), (c,c), (c, a), (b,c), (a,a) }

    es fehlt eindeutig das (b,b) und gilt trotzdem...

    na ja, also auch bei nicht reflexiv.. aber dann ist die definition im heft zu kurz

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  • ok

    die lösung ist:

    meine musterlösung ist falsch 🙂

    es gibt einen begriff der 'schwachen konnexität', der besagt, daß bei x, x die ungleichheit vorausgesetzt wird.

    bei dem begriff konnex ohne den zusatz 'schwach' ist die reflexivität mit eingeschlossen...

    so, jetzt reichts mit konnex 🙂

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  • W

    elise schrieb:

    es gibt einen begriff der 'schwachen konnexität', der besagt, daß bei x, x die ungleichheit vorausgesetzt wird.

    Nein. x ist x und nichts anderes. Bei der schwachen Konnexität folgt aus a,b∈Ma,b\in M: (a,b)∈R(a,b)\in R oder (b,a)∈R(b,a)\in R oder a=ba=b. Bei der (starken) Konnexität fliegt die letzte Disjunktion raus.

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  • *grins*

    webfritzi, webfritzi, du bist auch der einzige, der meinen könnte, ich hätte x,x gemeint...

    jeder normalsterbliche sieht, daß ich da einen schreibfehler gemacht habe.

    ich würde nicht auf die idee kommen, x ungleich x zu setzen.

    also: "daß bei x, y die ungleichheit vorausgesetzt wird"

    hmm, mathematiker sind mir unheimlich 😉

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