grenzwert berechnen

hi leute! könnt ihr mir bei einer grenzwert berechnung bitte helfen!??

aufgabe:

lim ((n+1) / (n+2))^n = ?
n->unendlich

rechenschritte:

1.)
lim ((n+1+1-1 / (n+2))^n =
n->unendlich

2.)
lim ((n+2-1 / (n+2))^n =
n->unendlich

3.) ??

ich weißt nimma weiter;-(

cu surf.

Jester

Also ist das

lim (1 - 1/(n+2))^(n+2-2) = lim (1 - 1/(n+2))^(n+2) * (1-1/(n+2))^(-2), erster Term geht gegen 1/e, zweiter Teil gegen 1. Also ist der Grenzwert 1/e.

Falls das nicht klar ist, muß man noch zeigen, daß (1-1/n)^n für n->oo gegen 1/e geht.

Denn: (1-1/n)^n = ((n-1)/n)^n = (n/(n-1))^(-n) = ((1 + 1/(n-1))ⁿ⁾-1
innerer Teil geht gegen e (das ist jetzt wirklich leicht), Kehrwert ist also 1/e.

MfG Jester

das stimmt?

ich hab in der vorlesung das mitgeschrieben:

lim ((n+1)/(n+2))^n = ? ...n geht gegen unendlich!

lim ((n+1) / (n+2))^n=
lim (n+1+1-1 / (n+2))^n=
lim (n+2-1 / (n+2))^n=
lim (1-1 / (n+2))^n=
m=n+2
n=m-2
lim (1+ (-1)/m)^m * (1+ (-1)/m)^-2 = e^-1

lim (1+ x/n)^n = e^x
--------------------
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kann das sein das das stimmt???

cu

Jester

Jo, ist doch genau das, was ich geschrieben hab.

ja aber das versteh ich net warum man da m und n her nimmt!????

cu

kannst du mir noch vielleicht die rechenregeln fürs rechnen mit limes sagen?

1.)
für n gegen unendlich gilt
lim (a * b) = lim a * lim b

usw... ????

Jester

Wenn (a_n) und (b_n) konvergieren, dann auch

(c_n) mit c_n = a_n+b_n und lim c_n = lim a_n + lim b_n
(c_n) mit c_n = a_n-b_n und lim c_n = lim a_n - lim b_n
(c_n) mit c_n = a_n*b_n und lim c_n = lim a_n * lim b_n

Ist zusätzlich lim b_n≠0, dann gibt es auch ein N so daß gilt b_n ≠ 0 für alle n>=N.
Ab diesem N kann man dann auch die Folge c_n = a_n/b_n betrachten und dann konvergiert auch dieses c_n und der Grenzwert ist lim a_n/lim b_n

MfG Jester

Taurin

Zusatz (m-te Wurzel):

Wenn a_n >= 0 konvergiert, dann gilt lim [(a_n)^(1/m)] = (lim a_n)^(1/m) für
n gegen unendlich und m natürliche Zahl.