Gleichung

Abbadon

das kann garnicht gleich sein
weil sin(x/2)*2 auch negativ sein kann sqrt(...) aber nicht

lustig

Das stimmt schon, in meinem Formelbuch steht:
sin²(α/2)=(1-cos(α))/2

aber herleiten oder begründen kann ich es nicht.

ChrisM

Hi,

warum ist das nur so kompliziert... ich hätte gar nicht gedacht, dass man durch normale Klasse 10-Aufgaben auf so verschiedene (ja, sie sind gleich, aber die Gleichheit ist schwierig zu zeigen!) Ergebnisse kommen kann.

ChrisM

Abbadon

wenn man die Additionstheoreme kennt, dann kann mans doch ganz einfach herleiten (man muss aber den betrag vom sinus nehmen!)

ChrisM

Hi,

ich kenn sie aber nicht

ChrisM

asmodis

Additionstheoreme:

$ \begin{eqnarray} \sin(\alpha+\beta)&=&\sin(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)\\ \cos(\alpha+\beta)&=&\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\\ \sin(\alpha-\beta)&=&\sin(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\beta)\cos(\alpha)\\ \cos(\alpha-\beta)&=&\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta) \end{eqnarray}

(3) und (4) folgen aus (1) und (2) durch einsetzen von -beta.

(4)-(2) ergibt:

$\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = 2 \sin(\alpha)\sin(\beta)$

mit alpha=beta=x/2:

$ \begin{eqnarray} \cos(\frac{x}{2}-\frac{x}{2}) - \cos(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}) &=& 2 \sin(\frac{x}{2})\sin(\frac{x}{2})\\ \cos(0) - \cos(x) &=& 2 \left(\sin(\frac{x}{2})\right)^2\\ 1 - \cos(x) &=& 2 \left(\sin(\frac{x}{2})\right)^2\\ 2 - 2\cos(x) &=& 4 \left(\sin(\frac{x}{2})\right)^2\\ \pm\sqrt{2 - 2\cos(x)} &=& 2 \sin(\frac{x}{2}) \end{eqnarray}

Und wie werden diese Theoreme hergeleitet????

Daniel E.

Man kann den Sinus oder den Cosinus als Exponentialfunktion schreiben; die Additionstheoreme dafür sind recht handlich.

Es geht wohl auch, indem man sich den Einheitskreis hinmalt und dann mit entsprechenden geometrischen Beziehungen argumentiert.

absolute_beginner

Bei mir in der Schule tauchte dies beim Thema Komplexrechnung auf... ist schon etwas länger her. (so ca. ein Jahr :D)

ChrisM

Hi,

ok, danke. Wenigstens weiß ich jetzt, dass es tatsächlich auch mathematisch gleich ist und nicht nur zufällig bei allen Werten, die ich probiere, das gleiche Ergebnis liefert.

ChrisM