Matritzen-Gleichung: Lösung gesucht

Hi, ich stehe gerade ein wenig auf dem Schlauch, kann mir jemand mal beim rechnen helfen:

Es ist y ein n-dimensionaler Vektor, b ebenso ein n-dimensionaler Vektor und M eine n*p Matrix. Die zu lösende Gleichung lautet

0 = (y - X b)^transponiert * X

Wie löst man diese Gleichung? Multiplikation mit X^(-1) funktioniert offensichtlich nicht ...

Achso: das Ergebnis lautet

b = (X^transponiert * X)^(-1) * X^transponiert * y

was man mit Nachrechnen überprüfen kann ...

Danke für Hilfe, bin verwirrt

fubar

Das sieht nach einem Ausgleichsproblem aus.
Dabei wäre aber X aus IR^nxp, b aus IR^p und y aus IRⁿ. Dann passt das auch wieder mit den Dimensionen!

Gegeben ist dann das LGS Xb+y=r. Die Unbekannten b_i sollen so bestimmt werden, daß die Summe der Quadrate der Residuen r_i minimal wird. Das kann man zurückführen auf X^t*X*b=Xt*y und somit b = (X^t*X)(-1)*X^t*y

WebFritzi

@fubar: Und woher weiß man, dass $X^TX$ invertierbar ist.

@LAOES: Was ist M??? Vielleicht solltest du das nächste mal die Aufgabe exakt abschreiben, damit hier keine Missverständnisse entstehen!

fubar

WebFritzi schrieb:

@fubar: Und woher weiß man, dass $X^TX$ invertierbar ist.

Man setzt voraus, daß die Matrix X Maximalrang hat => $X^TX$ ist symmetrisch, positiv definit.

Die somit eindeutig bestimmte Lösung b kann dann z.B. durch die Methode von Cholesky berechnet werden...

WebFritzi

Danke. Hab ich auch alles mal gemacht. Ist aber schon einige Zeit her.