4. Annäherung zwischen zwei Punkten

Annäherung zwischen zwei Punkten

  • ?

    In einem zweidimensionalen Raum bewgen sich zwei Punkte unabhängig voneinander (in Bezug auf Richtung und Geschwindigkeit).
    Die Bewegung der Punkte läuft in Intervallen ab. Innerhalb eines Intervalls bleibt die Geschwindigkeit der Punkte konstant.

    Wie lässt sich berechnen, ob innerhalb eines Intervalls ein bestimmter Abstand zwischen den Punkten unterschritten wird/wurde?

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  • W

    Die Kurven, auf denen sich die Punkte pro Intervall bewegen - sind das Geraden oder beliebige Kurven?

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  • A

    So würd ich das machen:
    1. Stell eine Funktion d(t) auf, die den Abstand der Beiden Punkte zum Zeitpunkt t angibt.
    2. Wenn I das Zeitintervall ist: übeprüfe ob min(d(I)) < bestimmter Abstand.

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  • W

    Fragender: Ich kann nicht rechnen. Wenn ich einen Apfel und noch einen habe - wieviele Äpfel habe ich dann?

    Abbadon: Rechne eins und eins zusammen.

    Fragender: 😕

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    WebFritzi schrieb:

    Fragender: Ich kann nicht rechnen. Wenn ich einen Apfel und noch einen habe - wieviele Äpfel habe ich dann?

    Abbadon: Rechne eins und eins zusammen.

    Fragender: 😕

    Sie bewegen sich auf Geraden.

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  • C

    Ich hab das mal ausprobiert.
    Wenn ich mich nicht verrechnet hab, kommt für t_min raus:
    (wobei x_1 y_1 die koordianten des ausgangspunktes von a und x_2 y_2 die des endpunktes von a, sowie
    x_3 y_3 die von ausgangspunkt b und x_4 y_4 die von endpunkt b darstellen.

    tmin=−(x_2+x_3−x_1−x_4)(x_1−x_3)+(y_2+y_3−y_1−y_4)(y_1−y_3)(x_2+x_3−x_1−x_4)2+(y_2+y_3−y_1−y_4)2t_{min}=-\frac{(x\_2+x\_3-x\_1-x\_4)(x\_1-x\_3)+(y\_2+y\_3-y\_1-y\_4)(y\_1-y\_3)} {(x\_2+x\_3-x\_1-x\_4)^2+(y\_2+y\_3-y\_1-y\_4)^2}

    Wenn dieses t_min jetzt im Bereich [0;1] liegt und die Strecken nicht parallel sind (sonst kommt murks raus) dann kannst du es in folgende Formel einsetzen:

    d(t)=((x_2+x_3−x_1−x_4)t+x_1−x_3)2+((y_2+y_3−y_1−y_4)t+y_1−y_3)2d(t)=\sqrt{((x\_2+x\_3-x\_1-x\_4)t + x\_1 - x\_3)^2 + ((y\_2+y\_3-y\_1-y\_4)t + y\_1 - y\_3)^2}

    und bekommst damit den kleinsten Abstand.
    Wenn t_min nicht im bereich [0;1] liegt, ist der kleinste Abstand eben der kleinere Wert von d(0) und d(1).

    PS: Schon nen Fehler gefunden.

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  • W

    Na, so ists ja einfach. Wir setzen für t∈It\in I

    $\begin{eqnarray*} s\_1(t) &:=& tv\_1 + c_1\\ s\_2(t) &:=& tv\_2 + c_2 \end{eqnarray*}

    Das sind Geraden, und s'i = vi. Also ist auch die Geschwindigkeit konstant - so, wie wir das haben wollten. Natürlich sind v1, v2, c1 und c2 Vektoren im R2\mathbf{R}^2. Ich gehe mal davon aus, dass du diese Geradengleichungen mit deinen Informationen aufstellen kannst, also die v's und c's finden kannst. So, und nun hoffe ich mal, dass du das Skalarprodukt im R2\mathbf{R}^2 kennst. Dieses schreibe ich am liebsten so: ⟨u,v⟩\langle u,v \rangle. Den Betrag (oder auch die Norm) eines Vektors u wollen wir schreiben als ∥u∥\|u\|. Wir wollen also nun den Abstand der beiden Punkte im Intervall minimieren, also

    mint∈I∥s_1(t)−s_2(t)∥\min_{t\in I} \|s\_1(t) - s\_2(t)\|

    bestimmen. Das ist das gleiche wie

    mint∈I∥s_1(t)−s_2(t)∥2\min_{t\in I} \|s\_1(t) - s\_2(t)\|^2

    zu bestimmen. Im zweiten Fall müssen wir am Ende nur noch die Wurzel ziehen. Die zweite Form hat den Vorteil, dass

    $\begin{eqnarray*} \|s\_1(t) - s\_2(t)\|^2 &=& \|t(v\_1 - v\_2) + (c\_1 - c\_2)\|^2 \\ &=& t^2\|v\_1 - v\_2\|^2 + 2t\langle v\_1 - v\_2, c\_1 - c\_2\rangle + \|c\_1 - c\_2\|^2 \end{eqnarray*}

    So, und das ist eine Parabel. Definieren wir d(t) als den Abstand der Punkte zum Zeitpunkt t, dann ist

    d2(t)=αt2+βt+γd^2(t) = \alpha t^2 + \beta t + \gamma

    mit

    $\begin{eqnarray*} \alpha &=& \|v\_1 - v\_2\|^2 \ge 0\\ \beta &=& 2\langle v\_1 - v\_2, c\_1 - c\_2\rangle \\ \gamma &=& \|c\_1 - c\_2\|^2 \end{eqnarray*}

    Da α≥0\alpha \ge 0, ist die Parabel nach oben geöffnet. Wo ist nun das Minimum? Die Antwort ist einfach. Wir berechnen dazu den Scheitelpunkt S. Ist dann der x-Wert von S in dem Intervall, dann ist das Minimum genau dort anzutreffen. Ist der x-Wert von S links vom Intervall, dann liegt das Minimum am linken Rand des Intervalls. Ist der x-Wert von S rechts vom Intervall, dann liegt das Minimum am rechten Rand des Intervalls. Das macht man sich per Aufmalen leicht klar. Wir müssen also noch den Scheitelpunkt bestimmen. Dazu leiten wir d2(t)d^2(t) ab,

    ddtd2(t)=2αt+β\frac{d}{dt} d^2(t) = 2\alpha t + \beta

    setzen die Ableitung gleich Null und rechnen die Lösung t aus:

    $\begin{eqnarray*} 2\alpha t + \beta &=& 0 \\ 2\alpha t &=& -\beta \\ t &=& -\frac{\beta}{2\alpha} \end{eqnarray*}

    .

    Dabei ergibt sich noch die Ausnahme, wenn alpha == 0 ist. Dann sind die beiden (vektoriellen!!!) Geschwindigkeiten gleich, also v1 = v2. D.h., der Abstand bleibt immer gleich, und du musst nur den Abstand der Punkte zu Anfang des Intervalls messen.
    Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig helfen.

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    👍 Ok, danke euch. Das Problem lässt sich doch auch folgendermaßen beschreiben, oder?:

    "Finde die kürzeste Entfernung zwischen zwei Geraden in einer Ebene"

    Wobei die Längen der Geraden von den Geschwindigkeiten der Punkte abhängen.

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    Frager4711 schrieb:

    👍 Ok, danke euch. Das Problem lässt sich doch auch folgendermaßen beschreiben, oder?:

    "Finde die kürzeste Entfernung zwischen zwei Geraden in einer Ebene"

    Wobei die Längen der Geraden von den Geschwindigkeiten der Punkte abhängen.

    Meine natürlich Strecken, keine Geraden. 🙄

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  • W

    Ja, so kann man es auch sehen.

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    @WebFritzi:

    Habe noch eine Frage:

    Was bedeutet das "," bei "(v1-v2,c1-c2)"?

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    Frager4711 schrieb:

    @WebFritzi:

    Habe noch eine Frage:

    Was bedeutet das "," bei "(v1-v2,c1-c2)"?

    Oki, du meinst das Skalarprodukt... 🙄 .

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  • W

    Ja, genau. 🙂

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