4. Eine Aufgabe

Eine Aufgabe

  • A

    Die Ergebnisse sind richtig, aber mir ging es eher um den Lösungsweg. Also nochmal aber mit größeren Zahlen:

    Gegeben seien 4 Zahlen a b c d, wobei gilt a/b = b/c = c/d. Die Summe der Zahlen ist 525, die Summe ihrer Quadrate ist 75825. Wie lauten die Zahlen?

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  • F

    a=a->next schrieb:

    Die Ergebnisse sind richtig, aber mir ging es eher um den Lösungsweg. Also nochmal aber mit größeren Zahlen:

    Gegeben seien 4 Zahlen a b c d, wobei gilt a/b = b/c = c/d. Die Summe der Zahlen ist 525, die Summe ihrer Quadrate ist 75825. Wie lauten die Zahlen?

    Sicher dass es hierfür eine Lösung gibt?

    Im ersten Beispiel habe ich es so gemacht: (ich schreibs der Übersichtlichkeit halber mal in Code Tags)

    a+b+c+d = 45                     a²+b²+c²+d² = 765
a/b a/c a/d =>
a(1+b'+c'+d')=45                 a²(1+b'²+c'²+d'2) = 765

=> (1)a = 1 oder (2)a = 3 

Weiter
b'/c' b'/d' also
(1) b'(1+c''+d'') = 44               b'²(1+c''²+d''²) = 764
=> (1.1)b' = 1 oder (1.2)b' = 2 

(2)               = 14                                = 84
=> (2.1)b' = 1 oder (2.2)b' = 2

Weiter
c''/d'' also

(1.1) c''(1+d''') = 43                 c''²(1+d'''²) = 763 (geht nicht)
(1.2)             = 22                               = 191 (geht nicht)
(2.1)             = 13                               = 83  (geht nicht)
(2.2)             =  6                               = 20
--> c'' = 2 --> d''' = 2

Jetzt kann man zurückrechnen:
a = 3
b = b' * a = 6
c = c' * a = c'' * b' * a = 12
d = d' * a = d'' * c' * a = d''' * c'' * b' * a = 24

    Bei 525 und 75825 wirds etwas aufwendiger(am Ende ca. 16Fälle), (sollte vielleicht der Rechner machen), aber dort bekomme ich überhaupt keine Lösung.

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  • C

    Hier ein "einfacher" Ansatz:

    \[ \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{1}{f} \] \[ \frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=f \] \[ b=af; c=bf=af^2; d=cf=af^3 \] Damit ergeben sich folgende Gleichungen: Summer der Zahlen: \[ a + af + af^2 +af^3 = s \mbox{ bzw. } a(1+f+f^2+f^3)=s \] Summe der Quadrate: \[ a^2 + a^2f^2 + a^2f^4 +a^2f^6 = t \mbox{ bzw. } a^2(1+f^2+f^4+f^6)=t \]

    2 Gleichungen, 2 Unbekannte, das sollte irgendwie zu lösen sein...

    PS: Oh, da war wohl jemand schneller

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  • W

    Ich verstehe schon den ersten Schluss nicht. (=> (1)a = 1 oder (2)a = 3)

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  • F

    WebFritzi schrieb:

    Ich verstehe schon den ersten Schluss nicht. (=> (1)a = 1 oder (2)a = 3)

    a muss 45 teilen und a² muss 765 teilen.

    45 = 1*3*3*5.

    Also kommen für a nur Kombinationen obiger Primfaktoren in Frage.
    So jetzt habe ich einfach geschaut welche Primfaktoren auch quadratisch in 765 vorkommen. Das ist nur die 3 (und natürlich die 1).
    Also kann a nur 1 oder 3 sein.

    Viele Grüße
    Fischi

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  • W

    Fischi schrieb:

    a muss 45 teilen

    Nö, das folgt nicht sofort. Du hast geschrieben: a(1+b'+c'+d')=45. Gut, dabei ist z.B. c' = c/a. Woher weißt du nun, dass dies eine ganze Zahl ist?

    0
  • W

    a/b a/c a/d

    Ahhh, jetzt verstehe ich erst, was du damit meinst. Du meinst wohl "a teilt b, a teilt c und a teilt d", oder? Sehr missverständlich! Man schreibt das so: a|b oder andersherum, weiß ich jetzt nicht mehr. Ich hab das die ganze Zeit als "a durch b" gelesen, was überhaupt garkeinen Sinn macht.
    Nichtsdestotrotz: Wie kommst du zu dem Schluss, dass a|b ?

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  • W

    @C14: Deine Methode ist ein super Ansatz IMHO. Ich habe das mal ein wenig weitergesponnen. So einfach wie du denkst, ist es jetzt auch wieder nicht, eine Lösung zu finden, denn die beiden Gleichungen sind nicht linear. Zunächst kann man auf den linken Seiten der beiden Gleichungen Produkte bilden:

    $\begin{eqnarray*} a\cdot(1+f)(1+f^2) &=& s\\ a^2\cdot(1+f^2)(1+f^4) &=& t \end{eqnarray*}

    Jetzt quadrieren wir die erste Gleichung und dividieren die neu entstandene mit der zweiten. Durch Multiplikation von t⋅(1+f4)t\cdot(1+f^4) machen wir die Brüche weg und erhalten nach einigem Umformen:

    f4+qf3+qf2+qf+1=0f^4 + qf^3 + qf^2 + qf + 1 = 0

    wobei q=2tt−s2q = \frac{2t}{t-s^2}. Das ist nun eine biquadratische Gleichung, die sich lösen lässt. Sie besitzt maximal 4 Lösungen für f. Weiter bin ich nicht gekommen...

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  • F

    WebFritzi schrieb:

    a/b a/c a/d

    Ahhh, jetzt verstehe ich erst, was du damit meinst. Du meinst wohl "a teilt b, a teilt c und a teilt d", oder? Sehr missverständlich! Man schreibt das so: a|b oder andersherum, weiß ich jetzt nicht mehr. Ich hab das die ganze Zeit als "a durch b" gelesen, was überhaupt garkeinen Sinn macht.
    Nichtsdestotrotz: Wie kommst du zu dem Schluss, dass a|b ?

    Mein Fehler...

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  • W

    Aber komisch, dass es trotz dieser doch recht strikten Annahme geklappt hat.

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  • F

    WebFritzi schrieb:

    Aber komisch, dass es trotz dieser doch recht strikten Annahme geklappt hat.

    Das war reiner Zufall.

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  • C

    @WebFritzi:
    Es ging eben nach Fischis Methode, weil der faktor f ne natürliche Zahl war.

    zum anderen Ansatz:
    Ich hatte nicht behauptet, dass es so einfach weitergeht, wie's angefangen hatte.
    (hab nich umsonst geschrieben "das sollte irgendwie zu lösen sein" ) 😉

    Hmm, weiter als du's jetzt umgeformt hast, wird's wohl auch nich gehen... schade

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  • W

    C14 schrieb:

    Hmm, weiter als du's jetzt umgeformt hast, wird's wohl auch nich gehen... schade

    Das würde ich so nicht sagen. Vielleicht kommt ja noch Jester, der Algebraiker, vorbei und kann diese doch recht einfach ausschauende biquadratische Gleichung in der Ordnung reduzieren durch irgendeinen netten Trick.

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