Abstand: Gerade / Punkt

[Christoph Redl]

Hallo!

Wie kann man feststellen, wie weit ein beliebiger Punkt von einer Geraden entfernt ist?

Danke!

mfg

[nep]

Also im 3-dimensionalen Raum hast du die Gerade ja in Parameterform gegeben. Um den (kleinsten) Abstand von der Gerade zum Punkt zu berechnen, musst du erst einen Lotfusspunkt auf der Geraden berechnen.
Angenommen du hast P(5|0|5) als Punkt und g:x = (1|2|3] + t*(1|0|2) als Gerade dann sind die Koordinaten des Lotfusspunktes bei L(1+t|2|3+2t). Jetzt kannst du sagen dass das Skalarprodukt vom Richtungsvektor der Geraden und dem Vektor LP gleich Null sein muss. Das ergibt dann eine Gleichung die du nach t auflösen kannst. Hast du das gemacht kannst du L konkret bestimmen. Danach kannst du den Abstand berechnen, indem du einfach den Betrag von LP ausrechnest.

Im 2-dimensionalen Raum kannst du auch einfach die Hesseform der Geraden aufstellen und darin dann den Punkt einsetzen.

[absolute_beginner]

Was ist ein zweidimensionaler Raum?

[elise]

absolute_beginner schrieb:

Was ist ein zweidimensionaler Raum?

illusion

[WebFritzi]

@elise: Schön gesagt.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sieht das so aus: Ist \mtext{g:} x = s + \lambda v und p der Ortsvektor des Punktes, dann lässt sich der Abstand ausrechnen als

$d = \biggl\| p-s - \frac{\langle v,p-s \rangle}{\| v \|^2} v \biggr\|$,

wobei $\langle \cdot \,, \cdot \rangle$ das Standard-Skalarprodukt im $\mathbf{R}^3$ darstellen soll.