Gleichung in C

[MisterX]

Hallo,

wie kann ich folgende Aufgabe lösen?

Sei

a Element C
a nicht 0
b Element C
b nicht 0

Zu bestimmen sind alle b mit |a+b| = |a|+|b|.

Ich habe bisher rausgefunden was der Betrag eines x Element C
ist. |x| = Quadratwurzel((x Real)^2+ x(Imaginär)^2)

Wie kann ich diese b bestimmen?

[Jester]

Hi,

einfach in Real und Imaginärteil auftrennen und nachrechnen:

a=x1+iy1
b=x2+iy2

|a|² = x1²+y1²
|b|² = x2²+y2²

|a+b|² = (x1+x2)²+(y1+y2)² = x1²+2*x1*x2+x2² + y1² + 2*y1*y2 + y2² = |a| + |b| + 2*(x1*x2+y1*y2)

Damit das gleich ist muß also x1*x2 + y1*y2 = 0 sein. Wenn Du jetzt also einen der Punkte vorgibst, sind die Bedingungen leicht aufzustellen.

MfG Jester

[MisterX]

Hallo,

eines verstehe ich noch nicht.

Du hast doch

|a+b|^2=|a|+|b| + 2*(x1*x2+y1*y2)

gezeigt.

Wenn nun 2*(x1*x2+y1*y2) = 0 gilt bleibt doch

|a+b|^2=|a|+|b|

aber ich brauchte doch

|a+b|=|a|+|b|

Also was verstehe ich da falsch?

[Jester]

Ups, ich glaub, da hab ich nen Fehler gemscht. Ich schau's mir später nochmal in Ruhe an. Aber vielleicht kannst Du mit dem Ansatz trotzdem was anfangen.

MfG Jester

[MamboKurt]

ich hab mir grad so überlegt:
denk dir sie komplexen zahlen als vektoren, dann gilt |a+b| = |a| + |b| nur, wenn a = λ*b (k element R).

wenns bissl unverstandlich ist net beschweren. ich bin halt kein pädagoge o.ä.

[WebFritzi]

MamboKurt schrieb:

ich hab mir grad so überlegt:
denk dir sie komplexen zahlen als vektoren, dann gilt |a+b| = |a| + |b| nur, wenn a = λ*b (k element R).

FALSCH! Es ist doch $|a+b| = |\lambda b + b| = |(\lambda + 1)b| = |\lambda +1|\cdot |b|$ und $|a| + |b| = |\lambda b| + |b| = |\lambda|\cdot |b| + |b| = (|\lambda| + 1)|b|$. Aber $|\lambda + 1| \neq |\lambda| + 1$ für einige $\lambda\in\mathbb{R}$. Ich zeige, dass $|z\_1+z\_2| = |z\_1|+|z\_2| \Longleftrightarrow z\_2 = \lambda z\_1$ mit einem $\lambda \ge 0$. Zunächst stellen wir einmal fest, dass $|z\_1+z\_2| = |z\_1|+|z\_2| \Longleftrightarrow |z\_1+z\_2|^2 = |z\_1|^2+|z\_2|^2+2|z\_1||z\_2|$. Nun gilt mit $z = z\_1\overline{z\_2}$:

$\begin{eqnarray*} |z\_1+z\_2|^2 &=& (z\_1+z\_2)\overline{z\_1+z\_2}\\ &=& (z\_1+z\_2)(\overline{z\_1}+\overline{z\_2})\\ &=& |z\_1|^2 + |z\_2|^2 + z + \overline z\\ &=& |z\_1|^2 + |z\_2|^2 + 2{\textrm{Re}}z\,. \end{eqnarray*}

Die Aussage ist also äquivalent zu {\textrm{Re}}(z\_1\overline{z\_2}) = |z\_1||z\_2|. Sei nun $z\_1 = r\_1 e^{i\varphi_1}$ und $z\_2 = r\_2 e^{i\varphi_2}$ mit $r\_1,r\_2\ge 0$ und \varphi\_1,\varphi\_2\in [0,2\pi). Da $z\_1\overline{z\_2} = r\_1r\_2e^{i(\varphi\_1-\varphi\_2)}$ und $|z\_i| = r\_i$ für $i=1,2$, ist die Aussage nun gleichwertig mit $r\_1r\_2\cos(\varphi\_1-\varphi\_2) = r\_1r\_2$. Das ist aber gleichbedeutend mit $r_1 = 0$ oder $r_2 = 0$ oder $\varphi\_1 = \varphi\_2$. Genau dann, wenn dies gilt, ist ($z_1 = 0$ oder $z_2 = 0$) oder (ausschließend) $z\_2 = r\_2e^{i\varphi\_1} = (r\_2r\_1^{-1})z\_1$. Das ist aber die Behauptung.

@MamboKurt: Ich hab ne MamboKurt-Brille. Haste den schonmal live gesehen?

[MamboKurt]

dann zäalt des halt nur für k element R+
zufrieden?

@webfritzi: ja ich habe mamboKurt schon live gesehen. der geht ab wie ein flitzebogen :). war echt der hammer

[WebFritzi]

Yeah, Mambo ist cool. Ich war mal bei dem im Backstage-Raum, denn ich bin Mitglied seines Fanclubs (www.dewuch.de). Geh mal ruff.

[MamboKurt]

das is cool.
du bist der erste, den ich treffe, der mambokurt mag.

lob und anerkennung von meiner seite

[WebFritzi]

Mein Fanclub-Name ist Filou Fritz [Filuu Frie].