4. stetigkeitsbeweis für funktion, die stetig in definierten wertebereich

stetigkeitsbeweis für funktion, die stetig in definierten wertebereich


  • hallo
    danke für die antworten.

    trotzdem bin ich grad am steckenbleiben.

    wie beweise ich die stetigkeit?

    also es mag blöd klingen, aber es ist mir einfacher, eine unstetigkeit zu beweisen (da reicht ein punkt) als eine stetigkeit.

    sei eine stetige funktion.
    wie beweise ich, daß sie stetig ist? wie führe ich diesen beweis konkret? ich kann doch nicht jeden einzelnen punkt diskutieren.
    ich kann auch nicht massen von testfolgen um massen von punkten herum testen.

    ich finde auch nix dazu in meinen 3 büchern um mich rum, die finden immer nur beweise für unstetigkeit.. aufgrund von aufmalen und sehen und dann den entsprechenden punkt "diskutieren", testfolgen, grenzwerte.. etc.

    oder denke ich irgendwo falsch..

    ps: für mich ist

    "hier reicht doch einfach: f,g stetig => f/g stetig für alle g(x) != 0." irgendwie eine behauptung, aber kein beweis.
    vielleicht verstehe ich "beweis" auch noch falsch.

    0
  • J

    Also, Du zeigst Stetigkeit im Punkt x0.

    Sei x_n eine Folge mit lim x_n = x0.

    Jetzt zeigst Du, daß lim f(x_n) = f(x0).
    Wobei x0 aus Deinem Intervall ist, auf dem Du Stetigkeit zeigen willst.

    Hier:

    lim(f(x_n)) = lim 1/(1+x_n) = lim 1/lim(1+x_n) = 1/(1+lim x_n) = 1/(1+x0) = f(x0)
    Das geht für alle x0 aus (-1,∞).

    MfG Jester

    0
  • ?

    elise schrieb:

    ps: für mich ist

    "hier reicht doch einfach: f,g stetig => f/g stetig für alle g(x) != 0." irgendwie eine behauptung, aber kein beweis.
    vielleicht verstehe ich "beweis" auch noch falsch.

    Das ist schon ein Beweis, da es Sätze über Stetigkeit gib, die halt besagen,
    dass wenn f und g stetig sind, dann auch f+g, f-g, f*g, usw.
    ebenfalls stetig sind.
    Und das f=1 und g=1-x stetig sind, kann man als "trivial" abhacken.

    Jockel

    0

  • halt halt..

    ich habe solche sätze nicht.

    aufgabe ist, zu beweisen, daß 1 / 1+x für den wertebereich x > -1 stetig ist.

    es gibt nix, auf das ich mich stützen kann, bis auf die definition von stetigkeit:

    Es sei a elemet D . und D nicht leer.
    dann heißt eine reele funktion f : D-> R stetig in a, wenn
    lim n-> unendlich f(a_n) = fa(a) für jedetestfolge (a_n) in D für a
    gilt.
    f heißt stetig auaf D oder einfach stetig, wenn f in jedem a elemt D stetig ist.

    und genau hier liegt mein problem. wie beweise ich bei der obigen funktion (oder gerne einer anderen ohne definitionsbereicheinschränkung) die stetigkeit?
    es muss ja für alle testfolgen gelten...

    irgendwie möchte ich mich mit diesem "trivial abharcken" noch nicht zufrieden geben ... es muss doch irgendwie formal gehen, na ja, ich bin trotzdem schon einen schritt weiter, thanks fürs mitdenken

    0
  • J

    Ich hab's doch oben bewiesen. Ich habe keinerlei Annahme über die Testfolge gemacht und auch außer x0!=1 nichts weiter verwendet. Damit hab ich für beliebige x0 aus D und bel. Testfolgen die Aussage verifiziert.

    MfG Jester

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  • @jester

    thanks, nach einigem inhalieren habe ich es jetzt begriffen.
    ich muss einfach alles allgemein nehmen.

    danke für eure hilfe und ausdauer, die nächste frage kommt sicher bald 😉

    0
  • ?

    Was heisst du hast solche Sätze nicht?

    Ich glaub "Rechenregeln für stetige Funktion" wird in jedem
    Skript, was sich auch nur ansatzweise mit dem Thema beschäftigt,
    behandelt.
    Wenn du diese Sätze - warum auch immer - nicht anwenden willst/darfst, dann
    hat Jester ja eine detaillierte Lösung gepostet.

    Jockel

    0
  • J

    @Jockelx:
    Wenn man das aber in der Vorlesung gerade erst behandelt und damit umgehen lernen soll, dann darf man solche Sätze (die dann zumeist noch nicht hergeleitet wurden) nicht verwenden.

    Natürlich wären viele Grenzwertübungsblätter vom Anfang einfach gewesen... hätte man l'Hospital verwenden dürfen. Aber der Lerneffekt hätte wohl deutlich gelitten.

    0
  • ?

    Völlig richtig, Jester.

    Sorry elise, dass ich das nicht sofort eingesehen hab, dass
    du diese Sätze noch nicht hattest.

    Kannst dich aber wenigstens drauf freuen, dass solche Aufgaben in Zukunft
    leichter zu lösen sein werden.

    Jockel

    0
  • F

    Jester schrieb:

    Sei x_n eine Folge mit lim x_n = x0.
    Jetzt zeigst Du, daß lim f(x_n) = x0.

    Das müßte dann aber lim f(x_n) = f(x0) heißen, oder? (Weiter unten ist es ja auch wieder richtig...)

    0
  • J

    Ja, das ist natürlich korrekt. Werde es noch schnell korrigieren.

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  • hatte ich auch so verstanden.

    thanks nochmal, der knoten ist geplatzt. auf zu neuen ufern.

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