Brauche Hilfe zur Vektorrechnung

[Lars]

a soll so gewählt werden, das die Vektoren linear unabhängig sind (Wortlaut der Aufgabe: Eine Basis des R³ bilden):

(a^3) (1) (27 )
(a^2),(1),(9  )
(a  ) (1) (a^5)

Zur Überprüfung der linearen Unabhängigkeit:

(a^3)   (1)       [e]rarr[/e]
[e]lambda[/e]1(a^2)+[e]lambda[/e]2(1) ... = 0
  (a  )   (1)

Wenn ich das in der Matrix ausrechne komm ich auf folgende Matrix:

(0   0   a^6-9a+18 | 0)
(0   a-1 a^6-9     | 0)
(a   1   a^5       | 0)

Das bedeutet doch eigentlich das sie für a^6-9a+18 |= 0 eine Basis des R³ bilden. Als Lösung ist im Buch aber a |= 1 angegeben, wenn ich die Vektoren mir anschaue ist das auch logisch, aber wieso komm ich rechnerisch darauf?

Danke für Hilfe.

[C++ Forumbot]

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[Lars]

Als ich das letzte mal hier war, gabs das Forum nicht, und wer rechnet schon mit so einem neuen Forum...

[Griffin]

Suche mal nach der Sarrus'schen Regel. Hat was mit Determinanten zu tun. So kannst du das LGS umgehen

[Lars]

Nicht im Unterrciht besprochene Gestze darf ich in der Klausur nicht verwenden, bringen mir also leider nichts.

[Lars]

D.h. nur mit Gauss.

[SG1]

eine Basis ist nicht nur linear unabhängig, sondern auch ein Erzeugendensystem. Das solltest Du vielleicht auch noch ausnutzen.

[Lars]

Hatten wir noch nicht, wir hatten erst folgendes:
-Linerare Abhängigkeit
-Vektorräume
-Geradengleichungen
-Ebenengleichungen
-Lage Geraden zu Ebenen
-Lage Ebene zu Ebene

Also sollte es auch mit den Möglichkeiten gehen.

[Abbadon]

Du willst alle a finden, so dass die 3 Vektoren einen Basis von R^3 bilden?

Ich würde das so machen (wenn ich nicht wüsste das es auch einfacher geht):

Du hast ja schon selbst herausgefunden, dass es reicht die lineare unabhängigkeit der 3 Vektoren zu zeigen.

Man sieht sofort, dass sie für a=0 l.a. sind, also der Fall a≠0:

schreib die Vektoren in ne Matrix:

$\left(\begin{array}{ccc} a^3 & a^2 & a \\ 1 & 1 & 1 \\ 27 & 9 & a^5 \end{array}\right)$

Benutz den Gauss-Algo. um die Matrix auf Stufenform zu bekommen (hab ich maple machen lassen):

$\left(\begin{array}{ccc} a^3 & a^2 & a \\ 0 & \frac{(a-1)}{a} & \frac{(a^2-1)}{a^2} \\ 0 & 0 & \frac{(a^6-9a+18)}{a} \end{array}\right)$

Die 3 Spalten bilden jetzt Vektoren, die genau dann l.a. sind wenn die ursprünglichen Vektoren l.a. sind (du hast ja nur Elementare Spaltenoperationen zum Umformen angewandt).

Man sieht direkt (oder etwa nicht?), dass wenn eine Zahl auf der Diagonalen 0 ist, die Vektoren l.a. sind und dass sie l.u. sind falls das nicht der fall ist.

Also musst du nur noch die Lösungen der 3 Gleichungen:

$ $a^3=0$\\ $a-1=0$\\ $a^6-9a+18=0$

bestimmen, die Vektoren sind dann l.u., wenn a nicht in der Lösungsmenge von einer der Gleichungen liegt.

[SG1]

Wie habt ihr dann "Basis" definiert, wenn ihr noch keine Erzeugendensysteme kennt? Nur lineare Unabhängigkeit reicht nicht.

<edit>ach, klar... 3 l.u. Vektoren im R^3 bilden automatisch 'ne Basis... Sorry, für die Verwirrung.</edit>

[Lars]

Abaddon hast du in der ersten Matrix nicht Zeilen und Spalten vertauscht, dann sieht das nämlich ganz anders aus...

[Abbadon]

Nein Zeilen und Spalten hab ich nicht vertauscht, das hab ich absichtlich so gemacht. Das wäre aber auch egal, es müsste eigentlich das gleiche rauskommen, egal wierum man die zeilen/spalten wählt.

[Lars]

Komisch ich bekomm mit Gauss das hier und habs auch von jemandem Gegenrechnen lassen:

$\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & a^6-9a+18 \\ 0 & a-1 & a^6-9 \\ a & 1 & a^5 \end{array}\right)$

[Abbadon]

Ist doch fast das gleiche.

[Lars]

Das is'n Scherz oder?

[Abbadon]

Nein, das ist kein Scherz. Es kommt ja nur darauf an, ob irgendwo auf der diagonalen der Dreiecksmatrix eine null steht.

[WebFritzi]

Abbadon schrieb:

Nein, das ist kein Scherz. Es kommt ja nur darauf an, ob irgendwo auf der diagonalen der Dreiecksmatrix eine null steht.

Es könnte auch der Eintrag unten rechts in deiner Matrix Null sein. Dann hat die Matrix ebenfalls höchstens Rang 2 und ist damit nicht invertierbar, heißt, dass dann die Vektoren l.a. wären. Aber das kann eh nicht eintreten, weil der von mir genannte Matrixeintrag eh stets positiv ist.

[Abbadon]

WebFritzi schrieb:

Abbadon schrieb:

Nein, das ist kein Scherz. Es kommt ja nur darauf an, ob irgendwo auf der diagonalen der Dreiecksmatrix eine null steht.

Es könnte auch der Eintrag unten rechts in deiner Matrix Null sein. Dann hat die Matrix ebenfalls höchstens Rang 2 und ist damit nicht invertierbar, heißt, dass dann die Vektoren l.a. wären. Aber das kann eh nicht eintreten, weil der von mir genannte Matrixeintrag eh stets positiv ist.

Was willst du damit sagen? Der Eintrag unten rechts liegt doch auf der Diagonalen.

[WebFritzi]

Jo, *lol*, war schon spät. Gut, also geht es nur um den Eintrag in der Mitte. Und der ist genau dann Null, wenn a=1. Also sind die Vektoren genau dann l.u., wenn $a\notin\{0,1\}$.