Wieviele Ecken darf eine Kachel haben?

TheToast

Also, wir hatten letztens in Erdkunde das Christaller System, wegen Platzierung der Städte und so, und da hat meine Lehrerin gefragt, warum da Hexagone verwendet wurden, und ich meinte, dass das halt die Form mit den meisten Ecken ist, die man noch Lückenlos als Kacheln nebeneinander anordnen kann. Sie meinte, dass man auch Achtecke Lückenlos nebeneinander anordnen kann, aber das geht defintiv nicht, da braucht man noch ein paar Quadrate dazwischen... Jetzt brauch ich aber irgendwie einen Mathematische Regel, weshalb genau das nicht geht, bzw. mit welchen n-ecken das machen kann...
Gibts da sowas?

SG1

Deine Kacheln sind regelmässige n-Ecke, richtig? Schau Dir mal die Punkte an, wo die n-Ecke zusammentreffen. Dort gilt: $m\varphi = 2\pi$ . Dabei ist m die Anzahl der n-Ecke, die in einem solchen Punkt zusammentreffen und $\varphi$ der Innenwinkel der n-Ecke. Für m=1 und m=2 erhält man entartete Fälle, für m=3 Sechsecke (Innenwinkel $\frac{2}{3}\pi$ ), für m=4 Quadrate, für m=6 Dreiecke. Alle anderen Werte für m führen auf Werte von $\varphi$ , für die es kein regelmässiges n-Eck gibt. Insbesondere folgt aus $\frac{2}{3}\pi < \varphi < \pi$ (mehr als 6 Ecken), dass $2 < m < 3$ , was bekanntlich in den natürlichen Zahlen nicht lösbar ist.

SG1

Achja: Der Innenwinkel eines regelmässige n-Ecks ist $\varphi = \frac{n-2}{n}\pi$

scrontch

Das Hexagon ist das letzte regelmässige Vieleck mit dem es geht. (Nach Dreieck und Quadrat).
Aber natürlich gibt es noch beliebig viele unregelmässige Formen mit denen es geht oder Kombinationen von Formen. (Interessant z.B. das Penrose-Kachelmuster, mit 5er-Symmetrie, http://www.itap.physik.uni-stuttgart.de/~gaehler/tilings/pen.html , (im Bild ein Ausschnitt, der beliebig weit fortgesetzt werden, das Muster füllt also die gesamte unendliche Ebene aus)

TheToast

Jo, also mal kurz zur Bestätigung, es handelt sich um Regelmäßige n-Ecke, kann mir mal jemand in normalen Worten (wie ich es der Lehrerin erklären könnte) erklären?

TheToast

Ach moment, ich habs grade verstanden... Danke, reicht schon...

scrontch

Rein der Form halber muss man noch erwähnen dass SG1s Darstellung nicht hinreichend ist.
Die Ecken müssten ja nicht alle am gleichen Punkt zusammenkommen.
k.A. ob der richtige Beweis einfach zu verstehen ist. Ich Google nachher mal danach...

TheToast

[quote="scrontch"]
Die Ecken müssten ja nicht alle am gleichen Punkt zusammenkommen.
[quote]

In diesem Fall war das schon so...