Limes zeigen

Wie kann man zeigen das der Limes dieses Ausdrucks: (n + √n)^0,5 - (n - √n)^0,5 gegen 1 geht?

erweitern mit gleichem ausdruck aber + statt -

Und dann?

Das hier sollte dir weiterhelfen:

[url] http://math-www.uni-paderborn.de/~mathkit/SS2003/Ana/Folgen/output_rep/Manifest17/konvergenz.html [/url]

Ist zwar für Folgen, aber der Beweis ist für Funktionen analog.

Hallo Seppschrot,

vielen Dank:-)

Mike

WebFritzi

SeppSchrot schrieb:

Ist zwar für Folgen, aber der Beweis ist für Funktionen analog.

Hier ging es doch auch nur um Folgen... Ich frag mich auch, wie diese Seite bei dieser Fragestellung hier helfen soll? yuhuu's Tipp war schon gut.

Hä , WebFritzi ???

Ich will ja hier keinen Streit vom Zaun brechen, aber wo ist denn jetzt hier irgendein Problem ?

Dass es um eine Folge ging, habe ich erst an gesehen, als ich schon geantwortet hatte, und dachte mir, das Editieren sparen zu können, da der Fehler verzeilich und irrelevant ist.

Den Link habe ich gepostet, da er den Beweis eines Grenzwertes zeigt, habe damit meines Wissens also auf Mekkis Frage geantwortet.

Er hat Mekki wohl geholfen oder er hat die Lösung schon vorher gefunden, jedenfalls scheint die Frage beantwortet zu sein.
Wo ist denn das Problem ?

WebFritzi

Ich glaube nicht, dass er damit nun viel anfangen konnte. Ich zeig hier mal, wie man das so macht, wie yuhuu es meinte:

Für alle $n\in\mathbb{N}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}} &=& \frac{ (\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}})(\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}}) }{ \sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}} }\\ &=& \frac{ \sqrt{n + \sqrt{n}}^2 - \sqrt{n - \sqrt{n}}^2 }{ \sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}} }\\ &=& \frac{ 2\sqrt{n} }{ \sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}} }\\ &=& \frac{ 2 }{ \frac{1}{\sqrt{n}} (\sqrt{n + \sqrt{n}} + \sqrt{n - \sqrt{n}}) }\\ &=& \frac{ 2 }{ \sqrt{ \frac{n + \sqrt{n}}{n} } + \sqrt{ \frac{n - \sqrt{n}}{n} } }\\ &=& \frac{ 2 }{ \sqrt{ 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} } + \sqrt{ 1 - \frac{1}{\sqrt{n}} } } \end{eqnarray*}

Und für $n\rightarrow\infty$ geht der letzte Ausdruck gegen 1. Diese Seite hier hätte ihm sicherlich mehr geholfen.

Na gut, nächstes mal