Wie beweise ich sowas?

[Dauna]

Hallo!
wie beweise ich sowas:
für c € N und a,b € Z gilt c|ab => c|a v c|b

bzw.:
ggT(x,y) = ggT(x,x+y)

danke schonmal im voraus

[Filopher]

In der Mathematik beweist man fast immer, indem man zuerst die Defintionen einsetzt und den Ausdruck solange umformt bis man das gewünschte auf der rechten Seite stehen hat.

Du müsstest also nachschlagen, wie ihr in der Vorlesung (?) a|b oder den ggt definiert habt und genau dies einsetzen. Danach ergibt sich die Lösung mit ein wenig überlegen meist schon von selbst.

[Gegenbeispiel]

Dauna schrieb:

für c € N und a,b € Z gilt c|ab => c|a v c|b

Gegenbeispiel: c = 6, a = 2, b = 3

[Dauna]

Hallo!
die Definitionen von Teiler und ggT sind ja:
a € N, b € Z. a | b wenn b/a € Z.

ggT(x,y) = {max d mit d | x und d | y}

Aber wie setze ich das da oben ein?
zum 1.Beweis müsste ich doch mindestens Wissen ob die Zahlen gerade bzw. ungerade sind.

Ein Gegenbeispiel zu finden ist auch nicht immer leicht. Deshalb wäre ein formaler Beweis fast besser geeignet
Grüße

[SG1]

Dauna schrieb:

Ein Gegenbeispiel zu finden ist auch nicht immer leicht.

Ein Gegenbeispiel wurde Dir doch schon gegeben. Kann es sein, dass Du die linke und die rechte Seite von | verwechselst?

[Dauna]

SG1 schrieb:

Dauna schrieb:

Ein Gegenbeispiel zu finden ist auch nicht immer leicht.

Ein Gegenbeispiel wurde Dir doch schon gegeben. Kann es sein, dass Du die linke und die rechte Seite von | verwechselst?

nein, das Gegenbeispiel ist vollkommen ok. Nur meine ich, dass es generell nicht so leicht ist(z.B. wenn die Aufgaben komplexer werden), ein Gegenbeispiel zu finden.

[la]

Sei d = ggT(x,y). \implies d|x \wedge d|y \implies d|(x+y) Jetzt noch die Maximalität.

[la]

la schrieb:

Sei d = ggT(x,y). \implies d|x \wedge d|y \implies d|(x+y) Jetzt noch die Maximalität.

Sollte heißen $\Longrightarrow d|x \wedge d|y \Longrightarrow d|(x+y)$

[MatzeTung]

la schrieb:

Jetzt noch die Maximalität.

Sei $d=ggT(x,y)$, dann gilt wie bereits gesagt
$d|x, d|(x+y)$. Zu zeigen ist nun, dass es keinen grösseren gemeinsamen Teiler von $x$ und $x+y$ gibt.

Also angenommen, es gäbe ein $d_2$ mit $d\_2|x, d\_2|(x+y), d_2>d$, dann folgt insbesondere, dass
$d\_2|x, d\_2|y, d_2>d$, was im Widerspruch dazu steht, dass $d=ggT(x,y)$. Also kann es kein solches $d_2$ geben.

[Jester]

ggt(x,y)=ggt(x,x+y) ist einfach mit etwas Ringtheorie...

ggt(x,y) ist der Erzeuger des Ideals (x,y) und ggt(x,x+y) ist der Erzeuger des Ideals(x,x+y)

Diese beiden Ideale sind aber gleich.
Okay, das nützt Dir hier wohl nicht viel.
Dann vesuchs einfach mal so:

Zeige, daß jeder Teiler von x und y ein Teiler von x und x+y ist und umgekehrt auch. Das ist eigentlich recht einfach. Mit etwas Überlegung müßte das eigentlich schon genügen.

MfG Jester