zyklische Gruppe
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Servus,
ich habe gerade ein Blackout! Wie ermittle ich nochmal die Elemente einer Zyklischen Untergruppe?danke im voraus
Grüße
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Die Elemente einer zyklischen Gruppe erhält man durch i-faches Aufoperieren des erzeugenden Elementes. (Definition der zyklischen Gruppe)
Das minimale n für das gilt a+a+...+a = (n+1)a = a ist die Ordnung der Gruppe.
Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist selbst zyklisch und ihre Ordnung ist Teiler der Gruppenordnung.
Ist n die Ordnung der zyklische Gruppe, gibt es zu jedem Teiler d von n eine Untergruppe, die von da (a...erzeugendes Element der Gruppe) erzeugt wird und die Ordnung n/d hat.Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
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tkreyling schrieb:
Ist n die Ordnung der zyklische Gruppe, gibt es zu jedem Teiler d von n eine Untergruppe, die von d*a (a...erzeugendes Element der Gruppe) erzeugt wird und die Ordnung n/d hat.
danke für die Antwort, hast mir schon geholfen!
nur eine Frage noch:
gibt es sicher eine Untergruppe der Ordung Teiler von n? oder kann es eine UG geben?
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Es muß diese Untergruppe geben.
Denn ist a ein Erzeugendes Element der Gruppe, dann ist für jeden Teiler d von n a^(n/d) ein erzeugendes Element der Untergruppe mit d Elementen.
Es gilt sogar wenn ich mich recht erinnere: G ist zyklisch <=> zu jedem Teiler d von |G| existiert genau eine Untergruppe U mit |U| = d.
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merci für eure Hilfe.