4. Eigenwert, Eigenvektoren einer Matrix

Eigenwert, Eigenvektoren einer Matrix

  • ?

    Gegeben sei eine Matrix:

    \[A = \[ \left( \begin{array}{ccc} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{array} \right)\]

    Berechnen sie den Eigenwert u die Eigenvektoren, sowie den Winkel γ\gamma, den die Eigenvektoren zueinander bilden!

    \[det (A-\lambda E) = \[ \left( \begin{array}{ccc} \cos\phi -\lambda & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi -\lambda \end{array} \right)\] \[= \cos^2\phi - 2\lambda\cos\phi + \lambda^2 + \sin^2\phi\] \[= \lambda^2 - 2\lambda\cos\phi + 1\] \[\lambda 1,2 = \frac{2\cos \phi\pm\sqrt{4\cos^2\phi - 4}}{2}\] \[\lambda 1,2 = \cos\phi \pm \sqrt{\cos^2\phi - 1}\] \[\lambda 1,2 = \cos\phi \pm \sqrt{-\sin^2\phi}\]

    ich komm nimma weiter!!??
    wie komm ich nun zu Lamda1 u Lamda2?? u dann zu den Eigenwerten....das Minus unter der Wurzel gefällt mir nicht!!

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  • F

    Das sieht doch schon sehr gut aus!
    Nur wirst du hier um ein wenig komplexe Rechnung wohl nicht herumkommen:

    \par \lambda_{1,2} = \cos\phi \pm \sqrt{\cos^2\phi - 1} \par \lambda_{1,2} = \cos\phi \pm i \sqrt{\sin^2 \phi} \par \lambda_{1,2} = \cos\phi \pm i \sin \phi

    Edit:
    D.h. also:

    \par \lambda_{1} = \cos\phi + i \sin \phi \par \lambda_{2} = \cos\phi - i \sin \phi
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  • ?

    sieht sehr gut aus:

    nun will ich den eigenvektor berechnen:
    für λ1=cosϕ+isinϕ\lambda1 = \cos\phi + i\sin\phi :

    Der zu einem Eigenwert λ1\lambda1 gehörende Eigenvektor v1 ist die Lösung der Gleichung:
    (A−λ1E)v1=0(A - \lambda1 E)v1 = 0

    \[(A - \cos\phi + i\sin\phi E)v1 = 0 \Rightarrow Ax1 = 0 \] \[\Rightarrow \[ \left( \begin{array}{ccc} \cos\phi - \cos\phi + i\sin\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi -\cos\phi +i\sin\phi \end{array}\right) =\[ \left( \begin{array}{cc} x1 \\ x2 \end{array} \right) = 0 \] \[i\*x1\sin\phi - x2\*\sin\phi = 0 \] \[x1*\sin\phi + i*x2\sin\phi = 0 \]

    schaut gut aus oder? wie mach i das weiter da??

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  • B

    hilft dir das wenn ich mal behaupte, dass wenn die determinate Null ist man eine Unbekannte frei wählen kann?

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  • ?

    b7f7 schrieb:

    hilft dir das wenn ich mal behaupte, dass wenn die determinate Null ist man eine Unbekannte frei wählen kann?

    nö, ich wüsste nix damit anzufangen....hmm
    😕 😕

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  • F

    \par\ \lambda_1 = \cos\phi + i\sin\phi: \par -i x\_1\sin\phi - x\_2 \sin\phi = 0 \par x\_1 \sin\phi - i x\_2\sin\phi = 0

    Naja, von einem Vorzeichenfehler mal abgesehen 😉

    Multiplizier doch mal die erste Gleichung mit i, dann fällt dir auf, daß eine Gleichung überflüssig ist. D.h. du hast nur noch eine Gleichung mit zwei Unbekannten, d.h. du kannst eine Unbekannte frei wählen und die andere daraus bestimmen.

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  • ?

    wenn ich die erste Gleichung mit i multipliziere dann hab ich sowas:

    \[x1\sin\phi - i*x2\sin\phi = 0 \] \[x1\sin\phi - i*x2\sin\phi = 0 \] \[x1\sin\phi = i x2\sin\phi \] \[x1 = i x2 \]

    passts so??

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  • F

    laars schrieb:

    passts so??

    Jo, würd ich schon sagen. Jetzt weiß du, daß der Eigenvektor zu

    \par \lambda_{1} = \cos\phi + i \sin \phi \par v_1=k \left( \begin{array}{c} i \\ 1 \end{array} \right) \. ist.
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  • ?

    ok, genau das hab ich a rausbekommen;-)

    nun zu:
    λ2=cosϕ−isinϕ\lambda_{2} = \cos\phi - i \sin\phi

    da bekomm ich dann raus:

    \[(A - \cos\phi + i\sin\phi E)v2 = 0 \Rightarrow Av2 = 0 \] \[\Rightarrow \[ \left( \begin{array}{ccc} \cos\phi - \cos\phi + i\sin\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi -\cos\phi +i\sin\phi \end{array}\right) *\[ \left( \begin{array}{cc} x1 \\ x2 \end{array} \right) = 0 \] \[i\*x1\sin\phi - x2\*\sin\phi = 0 \] \[x1*\sin\phi + i*x2\sin\phi = 0 \] \[-x1\sin\phi + i\*x2\*\sin\phi = 0 \] \[x1*\sin\phi + i*x2\sin\phi = 0 \] \[2i\*x2\*\sin\phi = 0 \]

    wie kann ich das weiter lösen??
    kann man einen winkel auch da zwischen den vektoren ausrechnen, weil das is ja jetzt in der gaußschen zahlenebene? irgendwie kann man da sich schwer was vorstellen einen komplexen eigenwert...u komplexen eigenvektor..

    big thx!

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  • F

    \par \sin\phi x\_1 - i \sin\phi x\_2 = 0 \par \sin\phi x\_1 - i \sin\phi x\_2 = 0 \par \Rightarrow x\_2 = ix\_1

    Wieder ein Vorzeichenfehler :p

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  • ?

    Bestimmen Sie die fehlenden Matrizenwerte, die Eigenwerte und den Eigenvektor für einen Eigenwert folgender Matrix:

    \[A = \[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \\ \*\* & \* \end{array} \right)\]

    wenn bekannt ist, dass das Produkt der Eigenwerte gleich 2 und die Summe der Eigenwerte gleich 3 ist.

    hmm? kann λ1\lambda_{1} und λ2\lambda_{2} nur ganzzahlig sein? dann ist ja λ1=1\lambda_{1} = 1 und λ2=2\lambda_{2} = 2 oder wie rechnet man das das weiter??

    cu

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  • F

    Nenn doch die beiden Unbekannten einfach a und b, dann sieht A so aus:

    \par A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 \\ a & b \end{array} \right)

    Jetzt kannst du ganz genau so vorgehen, wie bei den letzten beiden Teilaufgaben und erhälst die beiden Eigenwerte in Abhängigkeit von a und b. Mit den zusätzlichen Bedingungen für die Eigenwerte kannst du sie nun bestimmen...

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  • ?

    \par det(A - \lambda E) = \left( \begin{array}{ccc} 1 - \lambda & -1 \\ a & b - \lambda \end{array} \right) \* \left( \begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right) = 0 \par (1- \lambda)*x_{1} - x_{2} = 0 \par a*x_{1} + (b- \lambda)x_{2} = 0

    ja und was mach i jetzt da?

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  • F

    laars schrieb:

    ja und was mach i jetzt da?

    Noch mal weiter oben gucken, es sieht so aus, als würdest du Eigenwerte und Eigenvektoren in einem Schritt berechnen wollen.

    Also erst det(A-λI) ausrechnen und = 0 setzen. Das was herauskommt, kannst du z.B. mit p-q-Formel lösen. Mit den weiteren Bedingungen für die Eigenwerte kannst du daraus "Zahlenwerte" bestimmen. Und erst dann solltest du die Eigenvektoren bestimmen 😉

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  • Z

    Ich hätte noch ne andere Frage:
    Und zwar was bedeutet es denn anschaulich, wenn ich den Eigentwert/Eigenvektor berechne?
    Was bringt es mir bzw. wozu hilft es weiter?

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