sinus

Walli

So ist sie richtig .

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Ich habe aber auch mal einige Reihenentwicklungen hier gepostet. Wenn die Suchfunktion wieder aktiv ist lassen die sich bestimmt einfach finden. Ansonsten findet man solche allgemeinen Sache i.d.R. auch bei Wikipedia.

Mis2com

Ach, frac statt fraq...

Walli

REPLACE \fraq WITH \frac

Nimda

Di gleiche Frage wollte ich auch mal stellen, aber dann hatte ich in der Schule Taylor-Polynome/Reihen. Im Prinzip funktioniert es so, dass man die Funktion, die erste Ableitung die Zweite Ableitung, die dritte, und so weiter der Funktion(hier Sinus) am Punkt X=0 mit einem Polynom gleichsetzt, dabei muss man ein paar Dinge beachten(frag deinen Mathelehrer oder Lehrerin), am Ende kommt aber raus(kann man eigentlich im Kopf ausrechen):
(Ich kann nicht Latex, ist aber nicht schlimm, bin nur zu Faul!)
$Y=\frac{X^{1}}{1!}-\frac{X^{3}}{3!}+\frac{X^{5}}{5!}-\frac{X^{7}}{7!}+\frac{X^{9}}{9!}-\frac{X^{11}}{11!}+\frac{X^{13}}{13!}-....$
Das ist die bereits erwähnte Formel, nur ausgeschrieben. Wieviele (X^n)/(n!) Therme du benutzt, häng von der gewünschten Genauigkeit ab. Auch das kann dir deine Mathelehrerin/Lehrer erklären. Es reicht aber normalerweise, wenn du bis 21 gehst. Leider hab ich den Teil damals in der Schule nicht verstanden, wie man das abschätzt.(zweites Halbjahr 13 Klasse, nicht Abirelevant, wer passt da noch auf?)

Latexprobieren:
FERTIG

Nimda

Kann mir jemand die Abschätzung über die Abweichung erklären? Am beispiel von Sinus(X) und e^X ?

freshman

@Nimda: meinst du das Lagrangesche-Restglied?
(@all:Frage am Rande: wie editiere ich hier beim Erstellen eines post die mathematischen Formeln??oder einfach als URL einfügen??)

otze

nö, zuerst latex tags, und dann dadrunter die schönen zeichen, wenn ich mich net irre

freshman

@otze: oh man, ich glaube ich war blind, daß ich die buttons nicht gesehen habe...

Walli

Nimda schrieb:

Kann mir jemand die Abschätzung über die Abweichung erklären? Am beispiel von Sinus(X) und e^X ?

Wenn ich mich recht entsinne war der Fehler beim Abbruch der Sinusreihe nach dem n-ten Element kleiner als der Betrag des n+1-ten Elementes, da die Folgengleider alternierend und streng monoton fallend sind. Habe das Leibnitz-Kriterium aber nicht mehr 100%ig im Kopf.

Nimda

Ja, ich glaub ich meine das Lagrangesche-Restglied. Ob es das "Lagrangesche" war weiß ich nicht mehr, aber es war ein Restglied. So blöd sich das jetzt auch anhört.

Kann mir das einer erklären? Bitte!

Walli

Also, das Ding ist alternierend. Das bedeutet aufeinander folgende Reihenglieder haben unterschiedliche Vorzeichen. Nun ist aber jedes Glied kleiner als sein vorangehendes.

z.B. $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}=\frac{5}{16}<\frac{1}{2}$

Nimda

@MaSTaH: War das als Antwort auf meine Frage gedacht? Wenn ja, verstehe ich es nicht.

Walli

Google doch mal nach Leibnitz-Kriterium, dann weißt du worauf ich hinaus will. Das oben war ein Beispiel und hat nichts mit dem Sinus zu tun.

freshman

...und was hat das Leibnitzkriterium mit dem Lagrangeschen Restglied zu tun ??
es stimmt, daß für die Darstellung einer Funktin als Taylorreihe das Lagrange Restglied gegen 0 konvergiert und daß das Leibnitz-Kriterium besagt, daß jede unendliche Reihe in |R konvergiert, wenn deren Koeffizient alternierend und die Folge eine monoton fallende Nullfolge ist. Was hilft mir das denn zum Verständnis des Restgliedes?
edit: gebe ja zu, daß ich die Erklärung auch nicht ad hoc hinkriege [*schähm]

Walli

freshman schrieb:

Was hilft mir das denn zum Verständnis des Restgliedes?

Bei uns wurde das mit in die Definition des Kriteriums gepackt, wie man den Abbruchfehler abschätzen kann. Kenne das nur in dem Zusammenhang und nicht als Lagrage'sches Restglied.

Nimda

ALSO: Ich hab mal in einem Mathebuch(Kleine Enzyklopädie Mathematik) nachgeschlagen:
Für das Intervall x₀ bis x₀+h :
a) die Restform von Lagrange: es gibt stets wenigstens eine Zahl θ zwischen Null und Eins, 0<θ<1, für die $R\_n=\frac{h^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(X\_0+h\theta)$

b) die Restform von Cauchy: es gibt stets wenigstens eine Zahl θ zwischen Null und Eins, 0<θ<1, für die $R\_n=\frac{h^{n+1}}{n!}(1-\theta)^{n}f^{(n+1)}(X\_0+h\theta)$

Hoffentlich weiß Latex, was ich von ihm möchte... edit.: Nein, weis es nicht!

Als Beispiel beim Sinus, um zu sehen, ob ich das richtig verstehe:
Wenn ich jetzt bis zur 6. Ableitung rechne, ist der Rest(nach Lagrange) im Intervall 0≤X≤π/2:
$R_6=\frac{(\frac{\pi}{2})^{7}}{(7)!}f^{(7)}(0+(\frac{\pi}{2})\theta)$

Weiter ausgerechnet:
$0.004681754135*-cos((\frac{\pi}{2})\theta)$

Das leite ich jetzt nach θ ab, setzte es gleich 0 und ermittle damit die lokalen Maxima, bzw. Minima. Daraus kann ich dann die maximale Abweichung in dem Intervall 0≤θ≤1 berechnen. Hier wäre das für θ=0 ein maximaler Fehler von 0.004681754135 Richtig?

Wenn nicht, wo ist mein Fehler?
Und was hat die Formel von Cauchy besonderes, außer, dass man bei ihr viel schwerer die Maxima und Minima berechnen kann?

b7f7

http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic.php?t=41459

sbrog

Ich hab mal eine Frage.

Ich habe mit dieser Formel ein Programm erstellt, welches die Sinuswerte mithilfe der Formeln berechnet.

Leider muss sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen haben.
Wäre jemand so nett, sich das anzusehen ?

/* 
Manuelle Sinusberechnung
Sinuswerte werden so berechnet :

sin(x) =0 + (x^1/1!) - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) ...

wobei x! bedeutet 1*2*3...*x 
5! bedeutet also 1*2*3*4*5 = 120

je mehr Iterationen man durchführt, desto genauer ist der Wert 

die neueste iteration wird abwechselnd von den vorhergehenden abgezogen oder addiert. zuerst wird addiert
*/

#include <iostream> 

int nennersuchen(int) ;
float sinusberechnen(int,int);

using namespace std;

int main()
{
cout<<sinusberechnen(10,10);
cin.get();
cin.get();
}

int nennersuchen(int zahl)                            //den Nenner suchen, der in die sinusberechnung eingesetzt wird
{
    int a = 1 ;
    for (int b=0 ; b<=zahl ; b=b+1)
       {
            a = a*b;
            if ( a< 1)
            a = 1;
       }
   return a;
}

float sinusberechnen(int zahl,int genauigkeit) // die Zahl, für den der Sinuswert berechnet wird, und die Anzahl der Iterationen
{
    int hochzahl = 1;
    int nenner = 1;                              
    float sinus;                                 //in sinus wird der gesamte wert des bisherigen durchlaufs gespeichert
    float zwischenspeicher;                      //im zwischenspeicher wird der wert des aktuellen durchkaufs gespeichert
    bool op = true  ;                             //steht für operator.Jede nächste iteration wird abwechselnd von den vorherigen subtrahiert,oder addiert; True = + ; False = -
    for (int a=1 ; a<=genauigkeit ; a=a+1)       //die Iteration wird sooft durchgeführt, bis die genauigkeit erreicht ist
    {
        zwischenspeicher  = (zahl^hochzahl)/nennersuchen(nenner) ;

        hochzahl = hochzahl +2 ;                //jede iteration steigen Nenner und Hochzahl um 2
        nenner = nenner +2 ; 
        if (op = true) 
        {
                sinus = sinus + zwischenspeicher ; 
                op = false ; 
        } 
        else 
         {
                sinus = sinus - zwischenspeicher ;   
                op = true ; 
                }        
    }
    return sinus;
}

Nimda

Ich glaube, du hast etwas vergessen/nicht gewusst:
Die Taylor-Polynome konvergieren nur um 0 gut. Je weiter du von 0 weg bist, desto ungenauer werden sie. Man berechnet deshalb grundsätzlich nur den Sinus im Bereich 0 bis Pi/2. Den Rest errechnest du daraus. Hier mal kurz und ohne Garantie etwas Pseudocode:
Funktion Sinus(Gleitkommazahl
X = (X modulo 2*Pi) //das bewirkt, dass dein X immer im Bereich 0 bis 2*Pi ist.
Wenn X größer als Pi ist, Berechne Ergebnis = - Sinus(X - Pi). //Damit musst du dich nurnoch um Werte im Bereich 0 bis Pi kümmern.
Wenn X größer als Pi/2 ist, Berechne X = (Pi - //Damit hast du den endgültigen Bereich 0 bis Pi/2.

Und erst hier, kannst du mit der Taylorreihe die eigentliche Berechnung beginnen.
Diesen unschönen rekursiven Funktionsaufruf dort oben kann man auch umgehen, aber dazu bin ich zu müde!

Es ist jetzt 1 Uhr 15. Ich bin todmüde und wollte eigentlich schon vor 2 Stunden im Bett liegen. Ich bin also nicht verantwortlich für Fehler!

b7f7

Taylor linearisiert im Bereich der Entwicklungsstelle.