Wie funktioniert diese Basiswechselmethode?
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Hi!
Ich habe im Inet eine alternative Methode zum Basiswechsel gefunden. Ich kann
mir nur nicht erklären, warum sie funktioniert:L'.x = U dot -L L'.y = V dot -L L'.z = W dot -LU,V,W sind die Basisvektoren
L ist der Vektor, der umgewandelt werden soll
L' ist der Vektor mit der neuen Basis ausgedrücktIch kannte bisher nur diese Methode aus der Schule:
L = U*L'.x + V*L'.y + W*L'.zKann mir einer obige Methode erklären??
MfG,
EnERgYzEr
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Also ein Basiswechsel von einer alten Basis B1 zu einer neuen Basis B2 ist doch eigentlich sowas hier:
L' = C(B2,B1)*L
wobei in C(B2,B1) die Koordinaten von B1 bzgl. B2 als Spalten stehen.
Mir stellt sich jetzt die Frage, was ist bei dir U,V,W?
In welchen Koordinaten sind die Basisvektoren angegeben?Damit die Formel die du erklärt haben möchtest stimmt, müsste -U,-V,-W jeweils eine Zeile von C(B2,B1) sein.
Ok, rechnen wir mal aus was in C(B2,B1) steht!
B2*C(B2,B1) = B1
C(B2,B1) = B2^-1 * B1
Also müsste B1^T * B2^(-T) = (-U,-V,-W) sein.
Hmm...nein ich sehe nicht was U,V,W sein könnte.
Vielleicht bringt es mir in Beispiel etwas näher:
\[ L_0 = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 1 \\ \end{array}} \right) \]in Koordinaten der Standardbasis.
Sei
\[ {\rm{B}}_{\rm{1}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{array}} \right) \Rightarrow L = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\frac{1}{2}} & {\frac{1}{2}} & {\frac{1}{4}} \\ \end{array}} \right) \]und
\[ {\rm{B}}_{\rm{2}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ \end{array}} \right) \Rightarrow C\left( {B\_2 ,B\_1 } \right) = B\_2 ^{ - 1} B\_1 = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\frac{1}{2}} & {\frac{2}{3}} & { - \frac{1}{3}} \\ { \- 1} & {\frac{2}{3}} & {\frac{2}{3}} \\ {\frac{3}{2}} & { - \frac{2}{3}} & {\frac{1}{3}} \\ \end{array}} \right) \] \[ \begin{array}{l} \Rightarrow U = \left( {\begin{array}{*{20}c} { \- \frac{1}{2}} & { - \frac{2}{3}} & {\frac{1}{3}} \\ \end{array}} \right), & V = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - \frac{2}{3}} & { - \frac{2}{3}} \\ \end{array}} \right), & & W = \left( {\begin{array}{*{20}c} { \- \frac{3}{2}} & {\frac{2}{3}} & { - \frac{1}{3}} \\ \end{array}} \right) \\ U\left( { - L} \right)^T = \frac{1}{2} & & V\left( { - L} \right)^T = 0 & & W\left( { - L} \right)^T = \frac{1}{2} \Rightarrow L' = \left( {\begin{array}{*{20}c} {\frac{1}{2}} & 0 & {\frac{1}{2}} \\ \end{array}} \right) \\ \end{array} \]OK, ich habe U,V,W jetzt explizit ausgerechnet und weiß immernoch nicht
was diese darstellen sollen. Das ist weder B1 in Koordinaten von B2 noch
B2 in Koordinaten von B1 noch irgendwas anderes was mir sinnvoll erscheint.Schreib doch mal was du für U,V,W eingesetzt hast, bzw. wo du diese Formel her hast.
Viele Grüße
Fischi
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Ich glaube ich hab da auch was falsch verstanden
Es geht darum, dass ich einmal das normale Koordinatensystem habe. Ursprung
(0,0,0) und die Achsen x,y,z.Dann habe ich ein weiteres "Koordinatensystem" in dem selben Raum, wie das
erste System. Nur ist der Urspung verschoben und die Achsen sind als _gesamtes_
beliebig im Raum gedreht. d.h. die Achsen haben sich nicht gegenseitig
verschoben oder haben ihren Winkel zueinander verändert. <-- Ich hoffe es ist
klar was ich meine
Was ich brauche ist eine Matrix, mit denen ich von beliebigen Vektoren des
zweiten Systems, die Koordinaten im ersten System bekomme. d.h., der Vektor
soll an seinem PLatz bleiben aber ich möchte die Koordinatenangaben im normalen
Koordinatensystem haben...Ich habe als Angabe nur die drei Geraden (im normalen System), die die Achsen
des zweiten Koordinatensystems bilden...Ich hoffe mir kann jemand helfen
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Such mal nach Denavit-Hartenberg, das löst genau Dein Problem. Gibt ne fertige Matrix wo Du nur noch ein paar Parameter ausfüllen mußt.
MfG Jester
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Danke. Und sorry, dass ich euch erstmal so in die Irre geführt habe.
Das müssen die Sommerferien sein - die lassen ein alles schulische vergessen
