4. Integrieren

Integrieren

  • A

    Hallo,

    ich habe eine Aufgabe, bei der ich beim Integrieren eine andere Lösung erhalte als mein Matheprogramm Derrive.

    Die Aufgabe lautet Integral ln(x-a) dx

    Also ich benutze die Substitutionsmethode:

    1. setze x - a = u
2. x = u + a
3. Ableiten  (also 1, weil a ja eine Konstante ist)
4. dx/du = 1      =>       dx = 1 du

Integral ln(u) * 1 du

= u * ln(u) - u

5. Rückeinsetzen =>  (x-a)*ln(x-a) - (x-a)

    Aber mein Computerprogramm Derrive gibt als Ergebnis (x-a)*ln(x-a) - (x)
    Ist also mein Ergebnis richtig oder das vom Computer?

    0
  • C

    Hallo Andreas

    Beide sind richtig. Sie unterscheiden sich nur in der Grösse der Integrationskonstanten.

    (x-a)*ln(x-a) - (x-a) + c = (x-a)*ln(x-a) - (x) + C
    => C = c+a

    Gruss Chris

    0
  • A

    Hallo,

    ist denn mein Rechenweg richtig?

    Wenn ja, wieso habe ich eine Lösung mit Konstante rausbekommen und keine allgemeine?

    0
  • T

    Da hast anscheinedn eine Sache noch nicht verstanden:
    Jede Funktion f hat unendlich viele Stammfunktionen F, die sich alle
    höchstens um eine addidive Konstante unterscheiden.
    Für zwei Stammfunktionen F1 und F2 gilt also stets:

    F1(x) = F2(x) + C

    Wenn du also ein Integral berechnest, muss man formal richtig eigentlich immer
    noch ein + C (oder + K oder was auch immer) dahinter setzten,
    um anzudeuten, dass man alle Stammfunktionen gefunden hat.

    0
  • A

    Hallo,

    ich habe das mit der konstante c verstanden. Eine addierte Konstante wird ja beim differenzieren zu +0, daher kann man eine beliebige beim Integrieren mit angeben.

    Die Frage ist aber eine andere:

    Ich habe zum Beispiel: Integral 4x sin (x^2)

Ich setze u= x^(1/2)      (solange x>=0 und u>=0)

dx= 1/2 * u^(-1/2)  * du

Also 

Integral 4u^(1/2) sin u u^(-1/2) du /2 

= Integral 2 sn u du

= -2 cos u

Rückeinsetzen: -2 cos (x^2) = Ergebnis (von miraus auch -2 cos (x^2) +c)

    (Ich weiß, dass + Konstante auch richtig ist)

    Die Frage ist generell: Warum liefert das Verfahren einmal ein +c und einmal nicht?

    Und die Zweite Frage ist:
    Habe ich die Substitution bei der ersten Aufgabe richtig angewendet?

    0
  • S

    Andreas XXL schrieb:

    Die Frage ist generell: Warum liefert das Verfahren einmal ein +c und einmal nicht?

    Weil Derive ein anderes Verfahren verwendet als Du? Oder hab ich Dich da jetzt missverstanden?

    0
  • T

    Andreas XXL schrieb:

    Und die Zweite Frage ist:
    Habe ich die Substitution bei der ersten Aufgabe richtig angewendet?

    Du hast doch ein richtiges Ergebnis. Das unterscheidet sich von dem von Derive
    nur durch eine Konstante - deswegen sind beide (!) richtige Lösungen.

    0
  • A

    Andreas XXL schrieb:

    Hallo,

    ist denn mein Rechenweg richtig?

    Wenn ja, wieso habe ich eine Lösung mit Konstante rausbekommen und keine allgemeine?

    Die Konstante, die du rausgekriegt hast ist doch keine Integrationskonstante. Sie kommt von deiner Substitution.
    Daher hast du schon eine "allgemeine" Lösung rausbekommen (wobei die Lösung mit Konstante IMHO allgemeiner ist).

    Möglich das dein Programm das Ergebnis durch die Wahl einer geeigneten Konsanten soweit wie möglich vereinfacht.

    PS: Maple gibt als Ergebnis (x-a)ln(x-a)-x+a, also auch mit der Konstanten

    0
Anmelden zum Antworten