4. Partialbruchzerlegung

Partialbruchzerlegung

  • ?

    \\frac{x - 7}{x^2 + 4}\]

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  • ?

    Wie macht man die partialbruchzerlegung von:

    (x3+2x2+2)/(x4+2x^2)

    Ich habe bisher die Nullstellen bestimmt (0 ist eine doppelte)

    Also (x3+2x2+2^)/ (x * x * (x^2+2))

    Was muss ich nun tun?

    (Normalerweise kann ich das Verfahren, aber ich weiß nicht was ich bei einer doppelten Nullstelle tun muß)

    P.s. Sorry für den ersten Post, das war ein Versuch mit Latex

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  • F

    http://www.bandlows.de/uni/pbz.htm

    kurz: die gleiche nullstelle nochmal hinschreiben und daraus ein binom machen + zähler einer anderen variable zuweisen

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  • ?

    Hallo,

    ich bekomme irgendwie keine Lösung
    (ich dachte das geht immer)

    Also:

    (x^3+2x^2+2)/(x^4 + 2x^2)

1. Nullstellen bestimmen:  0  ist doppelte Nullstelle

(x^3+2x^2+2)/((x^2) * (x^2 + 2))

Auf den Hauptnenner erweitern
2.(x^3+2x^2+2)/(x^4 + 2x^2) = A/(x^2) + B/(x) + C/(x^2 + 2)   

Mit Hauptnenner multiplizieren
3.(x^3+2x^2+2) = A*(x^2+2) + B *(x^2 + 2) * x + C *(x^2)  

Klammern auflösen
4. (x^3+2x^2+2) = A*(x^2+2) + B *(x^3 + 2x) + C *(x^2) 

5. Koeffizienten notieren
(x^3+2x^2+2) =  A*(0x^3 + 1x^2 + 0x + 2)
               +B*(1x^3 + 0x^2 + 2x + 0)
               +C*(0x^3 + 1x^2 + 0x + 0)

Koeffizientenmatrix:

     A    B    C
x^3  0    1    0   =    1
x^2  1    0    1   =    2
x^1  0    2    0   =    0
x^0  2    0    0   =    2

    Diese Matrix hat aber keine Lösung 😮

    Habe ich mich verrechnet oder kann man keine Partialbruchzerlegung hier durchführen?

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  • F

    x3+2x2+2x4+2x2=Ax+Bx2+Cx+Dx2+2\frac {x^3+2x^2+2} {x^4 + 2x^2} = \frac A {x} + \frac B {x^2} + \frac {Cx+D} {x^2 + 2} wäre hier der richtige Ansatz!

    Edit: Unsinn entfernt!

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  • ?

    Hallo,

    warum, muß ich dass Cx + D genau beim x^2 + 2 als Zähler wählen und nicht beim z.B x^2 also (Ax + 😎 / (X ^ 2) ?

    Kannst du mir eine allgemeine Regel nennen was man machen muß, wenn man bei der Partialbruchzerlegung zu wenige Gleichungen erhält?

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  • F

    MisterX schrieb:

    Kannst du mir eine allgemeine Regel nennen was man machen muß, wenn man bei der Partialbruchzerlegung zu wenige Gleichungen erhält?

    Gleich den richtigen Ansatz wählen! 😉
    Hier die allgemeine Regel:

    \textbf{Partialbruchzerlegung:} \\ \newline

    Gegeben sei eine gebrochen rationale Fkt.
    $ f(x) = \frac {p(x)} {q(x)} $ mit \
    $ grad; p = n < m = grad; q$ (ansonsten Polynomdivision). \
    \newline
    Zerlege das Nennerpolynom q(x) in Faktoren der Form: \
    $ (x-a)^k, wenn a k-fache reelle NST von q(x) ist\\ ((x-a)2+b2)^k$, wenn a±iba \pm ib k-fache komplexe NST von q(x) ist\
    \newline

    \begin{tabular}{c|c}
    NST&Ansatz\\hline\
    $ (x-a)^k $ & A_1x−a+A_2(x−a)2+...+Ak(x−a)k\frac{A\_1} {x-a} + \frac{A\_2} {(x-a)^2} + ... + \frac{A_k} {(x-a)^k}\ \
    $ ((x-a)2+b2)^k $ & B_1x+C_1((x−a)2+b2)+B_2x+C_2((x−a)2+b2)2+...+B_kx+C_k((x−a)2+b2)k\frac{B\_1x+C\_1} {((x-a)^2+b^2)} + \frac{B\_2x+C\_2}{((x-a)^2+b^2)^2} + ... + \frac{B\_kx+C\_k} {((x-a)^2+b^2)^k}\
    \\end{tabular}\
    \newline
    Ein Koeffizientenvergleich liefert ein LGS f"ur die $A_i, ; B_i ; C_i ..$

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  • ?

    Danke,
    aber ich verstehe noch nicht alles bei der Aufgabe

    (x^3+2x^2+2^)/(x^4+2x^2)

    Ich habe eine doppelte reelle Nullstelle (In meinem fall die 0)

    Also: A/(x-o)^1 + B/(x-0)^2

    Der Rest (außer die Nullstellen) ist x^2 + 2

    Muß ich jetzt wirklich auch noch die Komplexen Nullstellen

    -Wurzel 2 i und Wurzel 2 i betrachten ?

    Das ist ne Aufgabe aus nem Schulbuch; das kann doch nicht so umständlich sein oder?

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  • F

    Hups, einmal zuviel! Hab anstatt zu editieren aus Versehen noch einmal gepostet 🙄

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  • F

    MisterX schrieb:

    Der Rest (außer die Nullstellen) ist x^2 + 2

    Muß ich jetzt wirklich auch noch die Komplexen Nullstellen

    -Wurzel 2 i und Wurzel 2 i betrachten ?

    Nein, mußt du nicht.

    x^2 + 2 = (x-a)^2 + b^2$ \Rightarrow $a=0, \, b=\pm \sqrt 2$ Da aber a&b im den Berechnungen nicht wieder auftauchen, kannst du die Gleichung x^2 + 2 so lassen. Die allgemeine Darstellung sieht aber so aus.
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  • ?

    Hallo,

    kannst du mir die Aufgabe BITTE soweit ausrechnen, so dass ich nur noch das LGS lösen muss? (Als Beispiel)

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  • F

    $ $\frac {x^3+2x^2+2} {x^4 + 2x^2} = \frac A {x} + \frac B {x^2} + \frac {Cx+D} {x^2 + 2} $ \\ \newline $= \frac {Ax(x^2 + 2) + B(x^2 + 2)+(Cx+D)x^2} {x^4 + 2x^2} = \frac {(A+C)x^3 + (B+D)x^2 + (2A)x + (2B)} {x^4 + 2x^2}

    A+C=1
    B+D=2
    2A=0
    2B=2
    Das kann man noch schön im Kopf lösen...

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