Gleichungssystem lösen

Windalf

Hoi weiss einer von euch wie man rangeht dieses gleichungssystem zu lösen?

p1*h1 + p2*h2 = m1
p1*h1^2 + p2*h2^2 = m2
p1*h1^3 + p2*h2^3 = m3

aussdem gilt das p1+p2=1;

wie kommt man von dort darauf wenn sigma^2 = m2 - m1^2 ist das gilt

h1 = m1 - sigma*wurzel(p2/p1)

und

h2 = m2 + sigma*wurzel(p1/p2)

für tips oder eventuell die komplette herleitung bin ich dankbar
vielleicht bekomm ichs ja auch morgen hin aber im moment krieg ichs einfach nicht gebacken und richtig glauben tu ich sowas immer erst wenn ich die herleitung gesehen hab

ach so und wie zum henker zeigt man das gilt
angenommen z= 1/n*summe(xi)

1/n * summe(xi^2) - z^2 = 1/n * summe( (xi-z)^2 )

Krösus

1/n * summe((xi - z)²) =
= 1/n * summe(xi² - 2 * z * xi + z²) =
= 1/n * (summe(xi²) - summe(2 * z * xi) + summe(z²)) =
= 1/n * (summe(xi²) - 2 * z * summe(xi) + n * z²) =
= 1/n * (summe(xi²) - 2 * z * n * z + n * z²) =
= 1/n * (summe(xi²) - n * z²) =
= 1/n * summe(xi²) - z²

Zu dem Gleichungssystem: Was sind die Variablen, was die Konstanten???

Windalf

@Krösus
argh ich knalltüte...
ich bin natürlich leider nicht auf die idee gekommen für summe(xi) dann n*z einzusetzen...
vielen dank erstmal...

zu dem anderen...
eigentlich will ich am ende p2 nur noch in abhängigkeit von m1 m2 und m3 haben, den kompletten rest muss man irgendwie eliminieren können...

von den gleichungen muss man irgendwie auf

h1 = m1 - sigmawurzel(p2/p1)
h2 = m2 + sigmawurzel(p1/p2)
kommen und wenn man dann weiterrechnet
auf
p2 = 1/2 * [ 1 + s * wurzel( 1 / (4+s^2) )]

wobei s dann s = (m3 + 2*m1^3 - 3*m1*m2)/sigma^3
(und sigma^2 war ja = m2 - m1^2 )...

[edit]
kleines fehlerchen es muss sigma^2 = m2 - m1^2 heissen...
[/edit]

Windalf

hat sich erledigt...

Krösus

p₁ · h₁ + p₂ · h₂ = m₁ ==> h₂ = (m₁ – p₁ · h₁) / p₂ ==> h₂² = (m₁ – p₁ · h₁)² / p₂² ()
p₁ · h₁² + p₂ · h₂² = m₂ ==> h₂² = (m₂ – p₁ · h₁²) / p₂ (**)
() und (**) vergleichen und nach h₁ umsortieren:
(m₂ – p₁ · h₁²) / p₂ = (m₁ – p₁ · h₁)² / p₂²
==> (m₂ – p₁ · h₁²) · p₂ = (m₁ – p₁ · h₁)²
==> m₂ · p₂ – p₁ · p₂ · h₁² = m₁² – 2 · m₁ · p₁ · h₁ + p₁² · h₁²
==> p₁² · h₁² + p₁ · p₂ · h₁² – 2 · m₁ · p₁ · h₁ + m₁² – m₂ · p₂ = 0
==> p₁ · (p₁ + p₂ ) · h₁² – 2 · m₁ · p₁ · h₁ + m₁² – m₂ · p₂ = 0
==> p₁ · h₁² – 2 · m₁ · p₁ · h₁ + m₁² – m₂ · p₂ = 0
Quadratische Gleichung auflösen:
h₁ = (m₁ · p₁ +/– sqrt(m₁² · p₁² – p₁ · (m₁² – m₂ · p₂))) / p₁
==> h₁ = m₁ +/– sqrt(m₁² · p₁² – p₁ · m₁² + m₂ · p₁ · p₂) / p₁
==> h₁ = m₁ +/– sqrt(m₁² · (p₁ – 1) · p₁ + m₂ · p₁ · p₂) / p₁
==> h₁ = m₁ +/– sqrt(m₁² · (–p₂) · p₁ + m₂ · p₁ · p₂) / p₁
==> h₁ = m₁ +/– sqrt((m₂ – m₁²) · p₂ · p₁) / p₁
==> h₁ = m₁ +/– sqrt((m₂ – m₁²) · p₂ / p₁)
h₂ erhältst Du durch Einsetzen von h₁ in die Gleichung h₂ = (m₁ – p₁ · h₁) / p₂
h₂ = (m₁ – p₁ · (m₁ +/– sqrt((m₂ – m₁²) · p₂ / p₁))) / p₂
==> h₂ = (m₁ – p₁ · m₁ –/+ p₁ · sqrt((m₂ – m₁²) · p₂ / p₁)) / p₂
==> h₂ = (p₂ · m₁ –/+ sqrt((m₂ – m₁²) · p₂ · p₁)) / p₂
==> h₂ = m₁ –/+ sqrt((m₂ – m₁²) · p₂ · p₁) / p₂
==> h₂ = m₁ –/+ sqrt((m₂ – m₁²) · p₁ / p2)
Mit diesen Zwischenergebnissen für h₁ und h₂ sowie der bisher noch
nicht verwendeten Gleichung mit den dritten Potenzen kannst Du dann
nach p₁ und p₂ auflösen.
Alles klar?

Windalf

@Krösus
jo danke auf h1 und h2 kommt man noch recht schnell... aber die dann in(3) einzusetzen und umzuformen nach p2 oder p1 ist ne echte freude...

für die die es interessiert...
h1 und h2 mit umgekehrten vorzeichen einsetzen und p1+p2=1 anwenden dann erhält man mit (x-y)^3=x3-3x^2y+3xy2-y^3 eine relativ einfache gleichung wo man ermal s substituiert... dann p2=(1-p1) einsetzten und wieder rumrechen und man erhält wieder eine quadratische gleichung die man dann auflösen kann und ist fertig...