Ungleichung beweisen?
-
Also, ich hatte seit einiger Zeit mit einer Ungleichung zu tun gehabt, die ich allerdings weder beweisen noch widerlegen kann. Hoffe ihr könntet mir dabei helfen, denn ich bin mit meiner Weisheit völlig am Ende. Die Ungleichung lautet
folgendermaßen:Wenn a, b und c reelle Zahlen sind und größer als 0 sind ,dann gilt :
a³+b³+c³ >= 1.5*a²*c+1.5*b²*c
-
a=1, b=1, c=0,1
Passt nicht.
-
a=1 ,b=1 , c=0.1:
a³+b³+c³=2.001; 1.5*a²*c+1.5*b²*c=0.3; 2.001>0.3
Passt doch!
-
Ach, sorry, falschrum gelesen...
-
man könnte folgendermaßen vereinfachen:
dann steht da:
man muß also lediglich die wertemenge untersuchen der funktion
^
für die gegebenen einschränkungen im definitionsbereich. thats it!
-
mit c = 0, a = b = -1 steht links was kleiner 0 und rechts 0. das stimmt nicht.
-
Karl-Heinz schrieb:
Wenn a, b und c reelle Zahlen sind und größer als 0 sind
-
interessant an dieser sache ist imho sowieso nur der bereich
0<a<1
0<b<1
0<c<1für alle a,b,c >= 1 sieht man spätestens, wenn man im rechten term 1,5c ausklammert, dass der linke term schneller wächst als der rechte ...
a³+b³+c³>=1,5c(a²+b²)
a²+b² ist quasi in beiden seiten drinn(links sogar mehr!!)
udn c³>1,5c //für c>=1
...
-
a³+b³+c³ >= 1.5*a²*c+1.5*b²*c
Naja da macht man erstmal eine Funktion von a,b,c draus
f(a,b,c) = a²(a-1.5c) + b²(b-1.5c) + c³
Jetzt ist zu zeigen, dass f(a,b,c) >= 0 für alle a,b,c>=0 ist.
Also berechnet man das Minimum von f
\[ \begin{array}{l} \frac{{\partial f}}{{\partial a}} = 3a^2 - 3ac = 0 \\ \frac{{\partial f}}{{\partial b}} = 3b^2 - 3bc = 0 \\ \frac{{\partial f}}{{\partial c}} = 3a + 3b = 0 \\ \Rightarrow \\ a = - b \\ a = b = 0 \\ c \in R _0^ + \\ \end{array} \]Wenn (0,0,R) also lokale Minima sein sollten, dann sind sie die einzigen und für diese gilt deine Ungleichung.
Was jetzt noch fehlt ist die Betrachtung an den Rändern.
Also a,b,c in allen Möglichkeiten gegen unendlich und null laufen lassen.
Wenn ich mich nicht irre ist die Ungleichung dafür aber auch erfüllt.Viele Grüße
Fischi