Lochkunde

[Lochkunde-Lehrer]

( n = geschnitten mit, u = vereinigt mit, c = Teilmenge von, e = Element von,
/ = nicht,\=ohne, ...)

*Kapitel 1: Das Loch als mathematischer Begriff*
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1.1 Das Loch im allgemeinen Sinne

Der Begriff des Loches ist uns allen aus dem Alltag bekannt. Wir wollen nun
im Fach Lochkunde das Loch zunaechst als mathematisches Gebilde (Punktemenge)
definieren und uns anschliessend durch immer weitere Verfeinerungen unserer
Theorien der Realitaet annaehern.

Eine der herausragendsten Eigenschaften der Loecher ist wohl diejenige, dass
ein Loch seine Umgebung unterbricht.

Exp: Wir schneiden in Loch in ein Blatt Papier.
Beobachtung!

Def: Ein Loch ist eine Unterbrechung seiner Umgebung.

1.2 Betrachtungen am Klauckschen Minimalsystem

Sieht man nun ein Loch als Punktmenge an, die innerhalb einer anderen Punkt-
menge, dem sogenannten Lochmedium, liegt, so kann man sagen, dass eine Punkt-
menge Loch L die Unterbrechung ihrer Mediumsmenge M ist. Diese Theorie wollen
wir jedoch noch weiter verfeinern durch Einfuehren eines Hamsters... aeh, nein,
durch Einfuehrung weiterer Punktmengen.
So ist z.B. die Menge aller Punkte, di zwar im Lochmedium, nicht aber im Loch
selbst liegen, ungleich dem Lochmedium, da dieses auch das Loch selbst
beinhaltet. Diese Menge nennen wir daher das Nichtloch N des Mediums M
bezueglich des Loches L. Es gilt demnach:

M = N u L bzw. N = M \ L
sowie N n L = {}

Wir nehmen nun an, H sei die Menge aller Punkte. Man kann dann H sozusagen als
uebergeordnetes Medium ansehen, in dem auch das Lochmedium M enthalten ist:
M c H. Sieht man nun M als Nichtloch N(H) von H an, so muss natuerlich auch ein
Loch L(H) bezueglich H existieren, fuer das gilt:
L(H) n N(H) = L(H) n M = {}
Dieses Loch L(H), das ausserhalb von M liegt, ist natuerlich kein Loch *von*
M, sondern nur ein Loch *bezueglich* M *von* H und daher keinesfalls etwa mit
einem Loch L e M zu verwechseln!

Aufgabe: Beguenden Sie, weshalb ein Loch L eines Mediums M nicht Teilmenge
eines Loches L(H) = { P | P e H, L(H) Nichtloch zu M } sein kann!

L(H) ist also, wie wir gesehen haben, die Lochmenge der Menge aller Punkte.
Wir nennen L(H) daher "dasGrosse Loch" (vorlaeufige Def.).

Anm: In aelterer Literatur findet sich statt L(H) oft auch die Symbolik L(M).
Dies ist damit zu erklaeren, dass H (weil es ja die Menge aller Punkte umfasst)
konstant ist und somit eigentlich L(H) nur von der Variablen M bestimmt wird.
Die aeltere Bezeichnung entspricht allerdings *nicht* der (spaeter beschrie-
benen) Beschreibung eines Loches durch sein Nichtloch!

In unserem jetzigen Modell eines Lochsystemes hatten wir es (bis jetzt) mit
zwei verschiedenen Loechern zu tun: dem Grossen Loch L(H) und einem im Nicht-
loch M zu L(H) enthaltenen Loch L(M). Sie werden in unserem speziellen Falle
manchmal zusammengefasst zum "Sehr Grossen Loch" S. [ S=L(M) u L(H) ]

Def: Ein Lochsystem, das nur aus H, L(H), einem Medium M und einem in M enthal-
tenen Loch L besteht, heisst "Klauc'sches Minimalsystem".

Def: Die Menge aller in einem Klauck'schen Minimalsystem enthaltenen Loecher
heisst "Sehr Grosses Loch" S.

Def: Wenn fuer ein Loch L(M) eines Mediums M gilt:
(1) L(M) = M, so heisst M "von L(M) komplett verzehrt"
(2) L(M) ={}, so heisst M "von L(M) unversehrt"
(3) L(M) /= M sowie L(M) /= {}, so heisst M "von L(M) beschaedigt".

Aufgabe 2:
Das Sehr Grossse Loch S eines Klauckschen Minimalsystemes sei gleich...
a) der enge H aller systeminhaerenten Punkte.
Weshalb wird das einzige Medium M des Systemes von seinem Loch L(M) komplett
verzehrt? Wie laesst sich das Grosse Loch satt mit M und H mit dem Sehr Grossen
Loch und dem Loch L(M) ausdruecken?
b) der Menge H ohne einen Punkt P. Der PUnkt P liege im Medium M. Wie gross
muss M mindestens sein? Wie gross kann das Grosse Loch maximal werden?
c) der Menge H ohne den Punkt Q, wobei Q im Grossen Loch liege. Wie gross darf
das Loch L(M) hoechstens werden? Wird M von L(M) komplett verzehrt? Wenn ja,
weshalb? Wenn nein, beweisen Sie bitte: 1+1 < 1.9331

[volkard]

Lochkunde-Lehrer schrieb:

( n = geschnitten mit, u = vereinigt mit, c = Teilmenge von, e = Element von,
/ = nicht,\=ohne, ...)

Das gefällt mir. Die Lesbarkeit wird durch vorangestellte Erläuterungen zur
textuellen Repräsentation später zu führender Gedanken in Ihrer Art, die
Lesbarkeit an sich zu sein, signifikant bestärkt.

Eine der herausragendsten Eigenschaften der Loecher ist wohl diejenige,
dass ein Loch seine Umgebung unterbricht.

Ja, ein Loch unterbricht die Umgebung. Aber ein Koffer unterbricht seine Umgebung
auch. Jeder Körper unterbricht durch körperliche Existenz das umgebende Medium,
solange wir davon asgehen, daß ein einem Ort nie zwei Körper sein können.

Aber unterscheiden wir einfach mathematische Löcher von reellen Löchern und arbeiten
auf mathematischen Löchern.

Dieses Loch L(H), das ausserhalb von M liegt, ist natuerlich kein Loch *von*
M, sondern nur ein Loch *bezueglich* M *von* H und daher keinesfalls etwa mit
einem Loch L e M zu verwechseln!

War hier gemeint "einem Loch L c M zu verwechseln"? Wir sagten doch, das
Medium M sei eine Punktemenge, also müßten die Elemente von M Punkte sein und Löcher
sind auch Punktmengen und keine Punkte, also könnte ein Loch durchaus Teilmenge
eines Mediums sein, aber kaum Element eines Mediums.

Aufgabe: Beguenden Sie, weshalb ein Loch L eines Mediums M nicht Teilmenge
eines Loches L(H) = { P | P e H, L(H) Nichtloch zu M } sein kann!

Sei X ein Punkt des Loches L eines Mediums M.
Dann gilt
x e L
x e M
wegen
L(H) Nichtloch zu M
liegt ein jeder Punkt von L(H) außerhalb von M
das widerspricht direkt x e M.
qed.

ups.

Sieht man nun M als Nichtloch N(H) von H an, so muss natuerlich auch ein
Loch L(H) bezueglich H existieren, fuer das gilt:
L(H) n N(H) = L(H) n M = {}

Sollte das nicht eher heißen

Sieht man nun M als Nichtloch N(H) [b]von[/b] H an, so muss natuerlich auch ein 
Loch L(H) [b]bezueglich[/b] H existieren, fuer das gilt: 
L(H) n N(H) = L(H) n M = {}

?

Def: Wenn fuer ein Loch L(M) eines Mediums M gilt:
(1) L(M) = M, so heisst M "von L(M) komplett verzehrt"
(2) L(M) ={}, so heisst M "von L(M) unversehrt"
(3) L(M) /= M sowie L(M) /= {}, so heisst M "von L(M) beschaedigt".

Ok. Sehr anschauliche Namen.
Es sollte Anfangs noch definiert werden, was mit /= gemeint ist.

Aufgabe 2:
Das Sehr Grossse Loch S eines Klauckschen Minimalsystemes sei gleich...
a) der Menge H aller systeminhaerenten Punkte.
Weshalb wird das einzige Medium M des Systemes von seinem Loch L(M) komplett
verzehrt? Wie laesst sich das Grosse Loch satt mit M und H mit dem Sehr Grossen
Loch und dem Loch L(M) ausdruecken?

Weil L(H) und M per Definition disjunkt sind, müssen auch L(H) und jede Teilmenge
von M disjunkt sein.
Insbesondere sind L(H) und L(M) disjunkt.
Aber L(H) u L(M) ist gleich H, also L(H) ist H \ L(M).
Und zugleich gilt M ist H \ L(M).
Damit gilt M ist L(M).
qed.

Das Große Loch ist natürlich das Sehr Große Loch ohne das Loch.

b) der Menge H ohne einen Punkt P. Der PUnkt P liege im Medium M. Wie gross
muss M mindestens sein? Wie gross kann das Grosse Loch maximal werden?

Da das Sehr Große Loch disjunkt zum Nichtloch von M ist, ergibt sich folgendes
Bild: Der Punkt P liegt im Nichtloch von M.
Das Minimale System besteht aus der Menge H={P}, der Menge M={P}, der Menge
S={}.
M muß also mindestens P enthalten.
Würde man in dieses System zusätzliche Punkte ins große Loch einfügen,
aber nicht ins Loch, so würden das Sehr große Loch und H gleichermaßen wachsen,
nicht aber das Loch. Damit ergibt sich keine Obergrenze für H und das Große Loch.
Aber gemeint ist wohl, wie es ist, wenn man H festhält.
Dann ist M noch variablel und das große Loch kann maximal H\{P} erreichen.

c) der Menge H ohne den Punkt Q, wobei Q im Grossen Loch liege. Wie gross darf
das Loch L(M) hoechstens werden? Wird M von L(M) komplett verzehrt? Wenn ja,
weshalb? Wenn nein, beweisen Sie bitte: 1+1 < 1.9331

Wenn S gleich H\{Q}, dann kann Q nicht im Grossen Loch liegen.
ex falso quod libet.
ergo darf das Loch M gleich H werden.
M wird von L(M) komplett verzehrt.
Aber Achtung!, wer sagt "M wird nicht von L(M) komplett verzehrt.", hat auch recht.
Und wegen 1+1<2 und der Transitivität der Kleiner-Relation auf reellen Zahlen
gilt auch 1+1<1.9331.