Differentialrechnung

ich habe nix von dir verstanden.

Walli

Gregor: Wolltest du jetzt prollen ( ) oder habt ihr das tatsächlich so in der Schule definiert? An der Uni ist das normal, aber ich denke der Fragensteller ist noch auf der Schule.

mir. weiß nix: schau dir mal das hier an
http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung

danke für den link hat mir geholfen. vielen dank.

mr. weiß nix schrieb:

polstellen

polstellen treten oft an definitionslücken von funktionen auf. was ist eine definitionslücke?

nun, nehmen wir die funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ als beispiel. diese funktion ist für alle x definiert, du darfst also für x einsetzen, was immer du willst- hier allerdings nicht die 0. man sagt dazu, die funktion hat eine definitionslücke an der stelle x = 0.

jetzt solltest du mal den funktionsgraphen dieser funktion zeichnen... dann siehst du auch, warum diese stelle polstelle heißt. es gibt übrigens polstellen mit und ohne vorzeichenwechsel, unsere funktion hier hat eine mit vorzeichenwechsel, denn im linken unteren teil des koordinatensystems treten große negative werte auf (die kurve zeigt steil nach unten), und unmittelbar nach der stelle x = 0 hat sie aber große positive werte (kurve beginnt ganz weit oben).

mr. weiß nix schrieb:

grenzwerte

der grenzwert ist der wert, dem sich die funktionswerte beliebig nähern, ohne ihn allerdings jemals zu erreichen.

wieder das beispiel von oben: du siehst ja, daß die kurve der x-achse immer näher kommt, je weiter du nach rechts zeichnest.
allerdings stellst du gleichsam fest: egal, wie groß das x ist, daß du einsetzt, \frac{1}{x} kann niemals den wert 0 annehmen. da du aber beliebig nahe am die 0 herankommst (du mußt immer größere x einsetzen, immer weiter nach rechts gehen), sagt man auch, der grenzwert für x->∞ sei 0.

aber: du hast auch noch die polstelle... du siehst: 0 darfst du nicht einsetzen. also gehst du einfach beliebig nahe an die 0 heran, du setzt immer kleinere werte für x ein (näherst dich also der polstelle). du merkst: die funktionswerte werden immer größer. und es gibt keine grenze, je kleiner das eingesetzte x ist, desto größer ist der funktionswert. man sagt: der grenzwert für x->0 sei ∞.

mr. weiß nix schrieb:

stetigkeit

liegt vor, wenn du den graphen einer funktion zeichnen kannst, ohne abzusetzen.
unsere beispielfunktion oben ist also nicht stetig, denn du mußt ja, von links kommend, in der mitte ganz weit unten absetzen, um dann wenig rechts von der mitte ganz oben weiterzeichnen zu können. anders gesagt: stetige funktionen haben keine definitionslücke.

Gregor

MaSTaH schrieb:

Gregor: Wolltest du jetzt prollen ( )

Ne. Ich wollte nur mal die Gelegenheit nutzen, das mal aufzuschreiben. Ich habe demnächst ne Prüfung, wo ich das unter anderem können muss.

Gregor

scrub schrieb:

mr. weiß nix schrieb:

stetigkeit

liegt vor, wenn du den graphen einer funktion zeichnen kannst, ohne abzusetzen.

Und woher weiß man, ob man eine Funktion in einem Zug zeichnen kann? Woran sieht man denn bei folgenden Funktionen, ob man sie in einem Zug zeichnen kann?

f(x) = sin(1/x) für x != 0 und f(x) = 0 für x = 0.
g(x) = x*sin(1/x) für x != 0 und g(x) = 0 für x = 0.

scrub schrieb:

stetige funktionen haben keine definitionslücke.

außerdem sollte es anschaulich sein...

Gregor

scrub schrieb:

scrub schrieb:

stetige funktionen haben keine definitionslücke.

1. Die Funktionen, die ich da angegeben habe, haben auch keine Definitionslücke.

2. Deine Aussage ist Unsinn.

ja, weiter so, nicht das problem lösen, nein, weiter draufhaun!
*argh* man, dann sag halt, was richtig ist- "das is aba fahalsch, wuhää" kann jeder plärren.

Jester

scrub schrieb:

liegt vor, wenn du den graphen einer funktion zeichnen kannst, ohne abzusetzen.
unsere beispielfunktion oben ist also nicht stetig, denn du mußt ja, von links kommend, in der mitte ganz weit unten absetzen, um dann wenig rechts von der mitte ganz oben weiterzeichnen zu können. anders gesagt: stetige funktionen haben keine definitionslücke.

Nun, ich glaub Jockelx hatte mal ne andere Definition, nach der diese Funktion sehr wohl stetig war. Die Funktion ist bei 0 nicht definiert... wie kann sie dort unstetig sein?

Stetigkeit in x0 bedeutet: Für jede Folge x_n mit lim x_n = x0:
lim f(x_n) = f(x0).

Angewandt auf Gregors Beispiele:

f(x) = sin(1/x). außer eben bei 0. sin(1/x) ist als Verkettung stetiger Funktionen stetig auf dem Definitionsbereich. Bleibt nur die 0 zu untersuchen:

Also entweder für alle Nullfolgen zeigen, oder mit einer Widerlegen.

Ich nehm mal letzteres: x_n = 2/(n*Pi) das geht auf jeden Fall gegen 0.
Dann ist f(x_n) = sin(n * Pi/2)

Man kann leicht ausprobieren, daß das immer zwischen 0,1,-1 hin- und herschwingt. Das heißt: Die Funktion wird dort nicht 0 werden. Damit ist sie nicht stetig.

Zweites Beispiel

g(x) = x*sin(1/x)

Wiederum ist ähnlich wie oben nur die 0 interessant.
Also Sei (x_n) mit lim x_n = 0.

Es ist |g(x_n)| = |x_n|*|sin(1/x_n)| <= |x_n| --> 0 (n-->∞)

Der Betrag geht gegen 0, also auch der Wert selbst. Damit geht die Funktion an dieser Stelle auf 0 zu, was tatsächlich auch dem Funktionswert entspricht.

MfG Jester

Gregor schrieb:

Sei U eine offene Teilmenge des Rⁿ und f:U->R^m eine Abbildung. f heißt im Punkt x aus U total differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung A:Rⁿ->R^m gibt, so dass in einer Umgebung von x gilt

f(x+ξ)=f(ξ)+Aξ+φ(ξ)

wobei φ eine in einer Umgebung von Null defnierte Funktion mit Werten im R^m ist mit

lim_ξ_->_0 φ(ξ)/||ξ||=0.

Nur Defintionen abgeben ist doch langweilig ... Viel interessanter ist doch warum ein offenes Intervall gefordert wird. Oder warum gefordert wird, dass der Rest schneller als 1/x gegen 0 konvergiert.

Gregor

BTW: Mir ist gerade aufgefallen, dass da ein Fehler in der Definition ist. Es muss natürlich folgendermaßen heißen:

Sei U eine offene Teilmenge des Rⁿ und f:U->R^m eine Abbildung. f heißt im Punkt x aus U total differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung A:Rⁿ->R^m gibt, so dass in einer Umgebung von x gilt

f(x+ξ)=f(x)+Aξ+φ(ξ)

wobei φ eine in einer Umgebung von Null defnierte Funktion mit Werten im R^m ist mit

lim_ξ_->_0 φ(ξ)/||ξ||=0.

Nur Defintionen abgeben ist doch langweilig ... Viel interessanter ist doch warum ein offenes Intervall gefordert wird. Oder warum gefordert wird, dass der Rest schneller als 1/x gegen 0 konvergiert.

1. Die Forderung mit dem Limes kann man sich eigentlich ganz schön klarmachen, wenn man daraus die Definition der Differenzierbarkeit im Eindimensionalen herleitet. Da ist die lineare Abbildung A dann nur noch die Multiplikation mit einer Zahl a. Das sieht dann also so aus:

f(x+ξ)=f(x)+aξ+φ(ξ)

Jetzt bringen wir mal f(x) auf die linke Seite und teilen durch ξ:

(f(x+ξ)-f(x))/ξ=a+φ(ξ)/ξ

Nun lassen wir ξ gegen 0 gehen...

lim_ξ_->_0 (f(x+ξ)-f(x))/ξ = a + lim_ξ_->_0 φ(ξ)/ξ

...und wenn man dann genau hinguckt, wird man erkennen, dass das im Eindimensionalen genau dann die Definition der Differenzierbarkeit wird, wenn die Bedingung mit dem Limes erfüllt ist. a ist dann der Wert der Ableitung an der Stelle x.

2. Das mit der offenen Teilmenge ist relativ einfach zu beantworten: Wenn man nicht von einer offenen Teilmenge U ausgeht, in der x enthalten ist, kann man auch nicht davon ausgehen, dass es eine Umgebung von x in U gibt. Das wird also schon in der Definition selbst benötigt.