Verstehe diese Gleichung nicht. (Rationale Funktion + Extremwerte)

Hallo,

weiß nicht obs daran liegt, dass es eine rationale Funktion ist, jedenfalls kenn ich den entsprechenden Satz nicht.
Also gegeben ist eine quadratische rationale Funktion:

$f(x) = g(x)/h(x)$

Die Extremwerte sind e1 und e2.
Und dann folgt angeblich:

f^2 - (e1+e2)\*f + e1\*e2 = 0

Ist das ein bekannter Satz oder sofort ersichtlich oder was?
Wird in einem Buch einfach ohne weitere Erklärung benutzt, da hab ich erstmal diesen hier gemacht ->

Jester

Was ist eine quadratische Rationale Funktion? Beide Polynome sind quadratisch oder wie?

Ja genau.

Daniel E.

Nase5 schrieb:

$f(x) = g(x)/h(x)$

Die Extremwerte sind e1 und e2.
Und dann folgt angeblich:
f^2 - (e1+e2)\*f + e1\*e2 = 0

Und wo ist da die Besonderheit? Das ist, nach Anwendung der binomischen Formlen, das gleiche wie:
(f(x) - a) (f(x) - b) = 0
bzw
(f(x) - f(u)) (f(x) - f(v)) = 0

Für dein Beispiel sind e1 und e2 dann eben zufällig die Extrema, aber die Gleichung ist auch für alle anderen a oder b aus dem Wertebereich von f(x) erfüllt, oder verstehe ich da irgendwas ganz falsch?

Jester

Hm, das besondere ist wohl, daß da 0 rauskommt.

(f(x)-a)*(f(x)-b) = 0 heißt doch aber: einer der beiden Faktoren ist 0. Das heißt aber: entweder ist f(x0) = a oder es ist f(x0) = b für ein festes x0. Es gibt keine anderen Fuktionswerte... das stimmt aber nicht allgemein für rationale Funktionen vom Grad 2... die nehmen immer auch noch andere Werte an (wenn sie nicht gerade konstant sind).

Ich würde sagen, die Aussage ist wohl falsch.

Daniel E.

Jester schrieb:

(f(x)-a)*(f(x)-b) = 0 heißt doch aber: einer der beiden Faktoren ist 0. Das heißt aber: entweder ist f(x0) = a oder es ist f(x0) = b für ein festes x0. Es gibt keine anderen Fuktionswerte...

Genau das wollte ich auch sagen. Verzeih, für die schlampige Ausdrucksweise.

Ich würde sagen, die Aussage ist wohl falsch.

Welche Aussage überhaupt? Die Gleichung ist nicht für alle x erfüllt, aber vielleicht ist die Aussage ja eine andere, genau wie die Gleichung "x = 3" offenbar nicht für alle x erfüllt ist; die assoziierte Aussage kann aber sein, das Fritz drei Euro hat oder whatever. Vielleicht sollte der OP mal verraten, was sein Buch mit dieser Gleichung erklären will.

Jester

Jo, muß wohl was anderes heißen, denn das was oben angeblich folgt, nämlich daß f^2+(e1+e2)*f + e1*e2 = 0 ist ist wohl falsch.
Vielleicht ist die Gleichung ja nur für die Extremstellen gedacht?

Hm, da ist dann wohl der Zusammenhang doch wichtig.
Also hier mal alles genau:

f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)

Die Extremstellen sind dann angeblich die Wurzeln von

| x^2   x   1 |
det | d     e   f | = 0
    | a     b   c |

Nun werden die Koeffizienten verglichen mit:

f^2 - (e1+e2)*f + e1*e2 = 0

und damit erhält man dann

e1*e2 = (a*c - b^2) / (d*f - e^2)
und
e1+e2 = (c*d - 2*b*e + a*f) / (d*f - e^2)

Die einzigste Frage ist halt, warum man da oben das auf 0 setzen darf.

Jester

Das wurde bereits erwähnt:

An den Extremstellen wird entweder der Wert e1, oder e2 angenommen =>
(f(x)-e1)*(f(x)-e2) = 0 an dieser Stelle, da einer der Faktoren 0 ist. Ausmultiplizieren liefert dann Deine Gleichung.

Ah, ok. Ich denke nu hab ichs kapiert.

Schönen Dank!