Schriftlich berechnen

Daniel E.

rewe schrieb:

Berechne mal schriftlich die 9-te Wurzel (keine Primzahl) aus 5159780352 . (= 12)

Dritte Wurzel geht allgemein so: http://www-public.tu-bs.de:8080/~y0004251/kwurzel.htm

rewe

Zum Logarithmus:

Brauche Erkärung zu folgenden Umformungen (Herleitung wäre super.):

1.)
x^(1/n)=e(ln(x)/n)

2.)
alog b = 1/(blog a)

3.)
c^(alog b) = b^(alog c)

Taurin

zu (1)
 e^(ln(x)/n) = (e^ln(x))^(1/n) = x^(1/n)

zu (2)
 Gegenbeispiel: a = b = e
 a*ln(b) = e != 1/e = 1/(b*ln a) 

zu (3)
 log(c) = log(c) * log(b)/log(b)
        = log(c^(log(b)) / log(b)

=> log(b) * log(c) = log(c^(log(b))
=> log(b^(log(c))  = log(c^(log(b))
=> b^(log(c)) = c^(log(b))
=> (b^(log(c)))^a = (c^(log(b)))^a
=> b^(a*log(c)) = c^(a*log(b))

rewe

Taurin schrieb:

zu (1)
 e^(ln(x)/n) = (e^ln(x))^(1/n) = x^(1/n)

zu (2)
 Gegenbeispiel: a = b = e
 a*ln(b) = e != 1/e = 1/(b*ln a) 

zu (3)
 log(c) = log(c) * log(b)/log(b)
        = log(c^(log(b)) / log(b)

=> log(b) * log(c) = log(c^(log(b))
=> log(b^(log(c))  = log(c^(log(b))
=> b^(log(c)) = c^(log(b))
=> (b^(log(c)))^a = (c^(log(b)))^a
=> b^(a*log(c)) = c^(a*log(b))

Die letzten beiden Zeilen ..

Ist es nicht so richtig:

=> b^(log(c)^a) = c^(log(b)^a)
=> b^(a*log(c)) = c^(a*log(b))

Oder ist das gleichbedeutend mit dem von dir?

Taurin

=> b^(log(c)^a) = c^(log(b)^a)
=> b^(a*log(c)) = c^(a*log(b))

Nö, das ist murks.
Du hast da ja stehen, dass a*log(c) = log(c)^a
Das würde ja bedeuten, dass es egal ist, ob du
zwei Zahlen potenzierst oder multiplizierst.

Und der Schritt von
b^(log(c)) = c^(log(b))
auf
b^(log(c)a) = c^(log(b)a)

ist auch falsch. Es muss tatsächlich so heißen wie bei mir. Das ()^a
wende ich ja auf beide Seiten an und nicht nur auf die Logarithmen.

rewe

Taurin schrieb:

=> b^(log(c)^a) = c^(log(b)^a)
=> b^(a*log(c)) = c^(a*log(b))
Nö, das ist murks.
Du hast da ja stehen, dass a*log(c) = log(c)^a
Das würde ja bedeuten, dass es egal ist, ob du
zwei Zahlen potenzierst oder multiplizierst.

Und der Schritt von
b^(log(c)) = c^(log(b))
auf
b^(log(c)a) = c^(log(b)a)

ist auch falsch. Es muss tatsächlich so heißen wie bei mir. Das ()^a
wende ich ja auf beide Seiten an und nicht nur auf die Logarithmen.

Ok, glaub ich mal.

Stimmt deine Umformung?

=> log(b) * log(c) = log(c^(log(b))

Ich habe ein Beispiel gemacht:
log(5)*log(9) != log(9^log(5))

Taurin

Die stimmt, du hast dich verrechnet. Ich glaub, du solltest noch mal die Potenz- und Logarithmengesetzt lernen...

rewe

Taurin schrieb:

Die stimmt. Ich glaub, du solltest noch mal die Potenz- und Logarithmengesetzt lernen...

Hehe
Ich muss diese Gesetze gründlich repetieren stelle ich gerade fest ;-).

rewe

=> log(b) * log(c) = log(c^(log(b))

Kannst du mir vielleicht diese Umformung verständlich machen?

EDIT: ich hab die Logarithmen- und die Potenzgesetze nachgeschlagen, aber diese Umformung kann ich beim Besten Willen nicht finden.

Taurin

Allgemein heißt das Gesetz: log(x^y) = y * log(x)
Erkennst du, was das mit einander zu tun hat?

Taurin schrieb:

zu (1)
 e^(ln(x)/n) = (e^ln(x))^(1/n) = x^(1/n)

zu (2)
 Gegenbeispiel: a = b = e
 a*ln(b) = e != 1/e = 1/(b*ln a) 

zu (3)
 log(c) = log(c) * log(b)/log(b)
        = log(c^(log(b)) / log(b)

=> log(b) * log(c) = log(c^(log(b))
=> log(b^(log(c))  = log(c^(log(b))
=> b^(log(c)) = c^(log(b))
=> (b^(log(c)))^a = (c^(log(b)))^a
=> b^(a*log(c)) = c^(a*log(b))

"alog b" und "blog a" soll wohl "\log_a{b}" und "\log_b{a}" heißen.

Taurin

a*log(b) ist der Logarithmus von b (zu irgendeiner Basis), multipliziert mit a.
Wo ist das Problem?

Taurin schrieb:

a*log(b) ist der Logarithmus von b (zu irgendeiner Basis), multipliziert mit a.
Wo ist das Problem?

Mit meiner Interpretation wird die Aussage (2) wahr, $\log\_a{b} = \frac{1}{\log\_b{a}}$

rewe

Taurin schrieb:

Allgemein heißt das Gesetz: log(x^y) = y * log(x)
Erkennst du, was das mit einander zu tun hat?

Nun ist's klar.
Ich entschuldige mich dass ich deine Fähgikeiten angezweifelt habe. hehe

Taurin

rewe schrieb:

Ich entschuldige mich dass ich deine Fähgikeiten angezweifelt habe.

Angenommen

@Hinweis: Ok, da muss uns rewe weiterhelfen, was gemeint ist. Nach deiner Interpretation ist 2 natürlich wahr.

rewe

Taurin schrieb:

rewe schrieb:

Ich entschuldige mich dass ich deine Fähgikeiten angezweifelt habe.

Angenommen

@Hinweis: Ok, da muss uns rewe weiterhelfen, was gemeint ist. Nach deiner Interpretation ist 2 natürlich wahr.

"alog b" und "blog a" soll wohl "\log_a{b}" und "\log_b{a}" heißen.
Da hat Hinweis recht (der Buchstabe vor "log" ist die Basis).
Ich habe das so notiert, weil ich das so auch schon gesehen habe (ist aber keine schöne Notation, und missverständlich ist sie auch).

Taurin

Ok, dann ist (2) auch wahr, denn

log_b(a) = ln(a) / ln(b) = 1 / (ln(b)/ln(a)) = 1 / log_a(b)