Kreisteilungskörper
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Kann mir jemand kurz (Zwischenschritte können verkürzt sein), warum $$\text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}) = (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$$ ($$\zeta$$ eine primitve n-te Einheitswurzel aus einem algebraischen Abschluss von Q) ist?
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Hm, ist ne Weile her.
Ich versuch's mal anschaulich klar zu machen woher das kommt. Wenn Du's exakt brauchst frag nochmal nach, dann versuch ich's genauer zu machen.
Die Galoisgruppe kriegst Du ja, indem Du Dir das Minimalpolynome schnappst und dann eben die Automorphismen anschaust, die durch das Abbilden von einer Nullstelle des Minimalpolynoms auf eine andere induziert werden.
Da die n-ten Einheitswurzeln eine zyklische Gruppe bilden gibt es also nur die Möglichkeit zeta auf irgendein zeta^k abzubilden. Allerdings ist nicht immer garantiert, daß Du damit wieder bei einer primitiven n-ten Einheitswurzel landest. Das klappt eben nur, wenn k teilferfremd zu n ist. Das wiederum ist aber nur dann der Fall, wenn k in Z/nZ invertierbar ist.
Damit haben wir sozusagen ne Bijektion zwischen (Z/nZ)* und der Galoisgruppe des Kreisteilungskörpers gefunden.
Jetzt schaun wir uns noch an, was die Hintereinanderausführung der zu k1, k2 gehörigen Automorphismen passiert. Wir potenzieren also zeta erst mit k1, dann mit k2. Das ist das gleiche als hätten wir mit k1*k2 potenziert. Also die zu k1*k2 gehörige Abbildung. Also ist unsere Bijektion von oben sogar ein Homomorphismus.
Exakt aufschreiben müßtest Du es jetzt ja eigentlich selber können.
MfG Jester
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Jester schrieb:
Jetzt schaun wir uns noch an, was die Hintereinanderausführung der zu k1, k2 gehörigen Automorphismen passiert. Wir potenzieren also zeta erst mit k1, dann mit k2. Das ist das gleiche als hätten wir mit k1*k2 potenziert. Also die zu k1*k2 gehörige Abbildung.
Jup, und k1,k2 \in (Z/nZ)* ==> k1*k2 \in (Z/nZ)*. Danke.
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dfgfdgfd schrieb:
Jup, und k1,k2 \in (Z/nZ)* ==> k1*k2 \in (Z/nZ)*.
Jo klar, ist ja ne Gruppe