4. Schwieriges Rätzel für mathematisch Interessierte...

Schwieriges Rätzel für mathematisch Interessierte...

  • F

    Hab die Ableitung gebildet und da kam dann exp(x^2) raus.

    Darf ich jetzt ein neues Rätsel stellen? Hm, mir fällt aber gerade nichts ein.

    Mal sehen ...

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  • D

    Ich fänds toll, wenn du ein neues Rätsel stellen würdest... Was mich noch brennend interessiert: Wie leitet man ne Summe ab? Wie geht man mit Fakultäten um? Wenns mitm Formeleditor zu schwierig is, würde ich mich über Post an 'wellenbrock at web dot de' freuen...

    mfG

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  • F

    Du kannst eine Summe ganz normal ableiten:
    Z.B.
    exp(x)=∑k=0∞xkk!=1+x1!+x22!+...\exp(x)=\sum _{k=0}^\infty \frac {x^k} {k!}=1+\frac x {1!} + \frac {x^2} {2!} +...
    gliedweise abgeleitet gibt das
    exp′(x)=0+11!+2x2!+...\exp'(x)=0+\frac 1 {1!} + \frac {2x} {2!} +..., da die Fakultäten ja Konstanten sind.
    Jetzt kann man schnell zeigen, daß exp'=exp.

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  • S

    D1BAKEL schrieb:

    Wie leitet man ne Summe ab?

    man faßt die funktion als summe von funktionen auf und leitet jede von ihnen ab. in kurzschreibweise heißt das, daß man in bestimmten fällen einfach das argument ableitet, dann hat man die ganze summe abgeleitet. ich würd aber nicht drauf wetten, daß das generell möglich ist.

    nehmen wir als beispiel die sinusfunktion...

    sin(x):=∑n=0∞(−1)n⋅x2n+1(2n+1)!=x−x33!+x55!−…+…\sin(x):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots +\ldots
    das leiten wir jetzt ab und erhalten:
    1−3x23!+5x45!−…+…=1−x22!+x44!−…+…1-\frac{3x^2}{3!}+\frac{5x^4}{5!}-\ldots +\ldots = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}-\ldots +\ldots
    ein abschließender blick ins rep sagt dir jetzt, daß:
    cos(x):=∑n=0∞(−1)n⋅x2n(2n)!=1−x22!+x44!−…+…\cos(x):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}-\ldots +\ldots
    was insgesamt nix anderes bedeutet als
    (sin(x))′=cos(x)\left(\sin(x)\right)' = \cos(x)

    und so könntest du jetzt immer weitere ableitungen bilden...

    *gnarf* zu lahmarschig heute, der scrub

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  • L

    jep die wette wuerdest du verlieren

    allerdings basiert deine cos herleitung auf der taylorreihenentwicklung

    welche zuerst mit der existenz der ableitungen arbeitet ohne die reihe zu kennen 😉

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  • S

    lookias schrieb:

    allerdings basiert deine cos herleitung auf der taylorreihenentwicklung

    ich hab nirgendwo was hergeleitet 🙂
    taylorreihenentwicklung: gleub ich dir jetzt einfach mal, sollte ich aber bald selbst verstanden haben- könnte wichtig werden.

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  • L

    naja wenn du die ableitung der von cos ueber die reihe machst

    dann ist das so als wenn du die ableitung mit hilfe der ableitung machst

    btw taylorreihe:

    f(x)=∑n=1N(x−an!)n∗fn(a)f(x)=\sum_{n=1}^N\Bigg(\frac{x-a}{n!}\bigg)^n*f^n(a)

    das N geht bis zur letzten moeglichen ableitung

    siehe zb e^x entwicklung mit a=0

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  • S

    ich kann auf die schnelle nicht ganz nachvollziehen, was du meinst.

    ich hab die definitionen der funktionen als potenzreihen vor mir. wenn ich jetzt mit der herkömmlichen methode aus der schule die eine reihe ableite, kommt ganz zufällig die andere raus.

    ich bin ehrlich neugierig, was du mir sagen willst. 🙂

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  • L

    ich erklaehr das mal ganz kurz

    man nehme ein polynom p(x) bilde die nte ableitung dann ist

    p^n(0)=a\_n*n!$ \\also\\ $a\_n=\frac{p^n(0)}{n!}

    damit kann man das polynom anders darstellen:
    p(x)=∑n=0Npn(0)n!∗xnp(x)=\sum_{n=0}^N \frac{p^n(0)}{n!}*x^n
    am besten mal aufschreiben

    wenn man jetzt anstatt p eine beliebige funktion einsetzt und anstatt 0 irgendeinen andren wert nimmt

    zeigt es sich dass man diese funktion, so, gut annaehern kann

    wenn es nur endlich viele ableitungewn gibt so muss am ende noch ein restglied stehen (wovon es verschiedene gibt)

    gibt es unendlich viele ableitungen wird die funktion so als unendliches polynom dargestellt

    das ganze nennt man dann taylorreihenentwicklung

    und auf genau diesem weg kann man dann cos sin sinh cosh e und viele andre darstellen nur leider muss dazu die ableitung bekannt sein

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  • F

    lookias schrieb:

    naja wenn du die ableitung der von cos ueber die reihe machst

    dann ist das so als wenn du die ableitung mit hilfe der ableitung machst

    Hmm?
    Oder man definiert sin und cos durch die Potenzreihen und die Taylorreihe ergibt sich daraus. Wie würdest du denn sin bzw. cos definieren?

    lookias schrieb:

    f(x)=∑n=1N(x−an!)n∗fn(a)f(x)=\sum_{n=1}^N\Bigg(\frac{x-a}{n!}\bigg)^n*f^n(a)

    f(x)=∑n=0∞fn(a)n!(x−a)nf(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n

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  • L

    naja wenn dein elhrer dir die formel so ohne hintergrund praesentiert dann spricht das nicht gerade fuer ihn

    mathematik kann ja so keinen spass machen wenn man garnet weiss woher das alles kommt

    nur leider wird das oft so gemacht das faengt schon an bei kreisumfang und flaecheninhalt

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  • L

    fubar schrieb:

    lookias schrieb:

    naja wenn du die ableitung der von cos ueber die reihe machst

    dann ist das so als wenn du die ableitung mit hilfe der ableitung machst

    Hmm?
    Oder man definiert sin und cos durch die Potenzreihen und die Taylorreihe ergibt sich daraus. Wie würdest du denn sin bzw. cos definieren?

    lookias schrieb:

    f(x)=∑n=1N(x−an!)n∗fn(a)f(x)=\sum_{n=1}^N\Bigg(\frac{x-a}{n!}\bigg)^n*f^n(a)

    f(x)=∑n=0∞fn(a)n!(x−a)nf(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n

    sry schreibfehler

    na wenn du da so rangehst.. allerdings war erst cos als funtkon da dann als reihe

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  • F

    lookias schrieb:

    und auf genau diesem weg kann man dann cos sin sinh cosh e und viele andre darstellen nur leider muss dazu die ableitung bekannt sein

    Das stimmt nicht. Die Exponentialfkt., sin, cos werden doch (IMHO meistens) über die Reihendarstellung definiert, oder wie definierst du diese Funktionen?

    f(z)=∑n=0∞a_n(z−z_0)nf(z)=\sum_{n=0}^\infty a\_n(z-z\_0)^n

    a_n=12πi∫_∣z−z0∣=rf(ζ)(ζ−zo)n+1dζa\_n = \frac 1 {2 \pi i} \int \_{|z-z_0|=r} \frac {f( \zeta )} {(\zeta-z_o)^{n+1}} d \zeta

    Ich sehe hier keine Ableitung 😉 :p

    lookias schrieb:

    allerdings war erst cos als funtkon da dann als reihe

    😕 Kannst du mal genauer erklären, was du damit meinst?

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  • L

    fubar schrieb:

    lookias schrieb:

    und auf genau diesem weg kann man dann cos sin sinh cosh e und viele andre darstellen nur leider muss dazu die ableitung bekannt sein

    Das stimmt nicht. Die Exponentialfkt., sin, cos werden doch (IMHO meistens) über die Reihendarstellung definiert, oder wie definierst du diese Funktionen?

    f(z)=∑n=0∞a_n(z−z_0)nf(z)=\sum_{n=0}^\infty a\_n(z-z\_0)^n

    a_n=12πi∫_∣z−z0∣=rf(ζ)(ζ−zo)n+1dζa\_n = \frac 1 {2 \pi i} \int \_{|z-z_0|=r} \frac {f( \zeta )} {(\zeta-z_o)^{n+1}} d \zeta

    Ich sehe hier keine Ableitung 😉 :p

    lookias schrieb:

    allerdings war erst cos als funtkon da dann als reihe

    😕 Kannst du mal genauer erklären, was du damit meinst?

    also

    e^1=\lim{x \to \infty}(1+1/n)^n$ das problem war frueher gerade auch nicht ganze potenzen von e zu finden cos und sin wurden durch trigonometrische sachverhaeltnisse gefunden also die alten griechen kannten wohl den cos aber nicht die taylorreihe definieren kann man wie man will aber man kann nicht ableiten mit hilfe von ableitungen der selben funktion
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  • F

    lookias schrieb:

    definieren kann man wie man will aber man kann nicht ableiten mit hilfe von ableitungen der selben funktion

    ... die man aber auch nicht braucht (siehe oben), wenn man sin, cos als Reihe auffaßt.

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  • S

    wir haben die bereits genannten potenzreihen als definition der jeweiligen funktionen kennengelernt. davon sind wir dann später auch auf den ganzen andern kram, auch taylorreihen, gekommen.

    wer oder was hindert mich jetzt daran, diese potenzreihen abzuleiten? die veranschaulichung der funktionen am einheitskreis oder an der einheitshyperbel mögen ja manchmal hilfreich sein, aber beim bilden der ableitung???

    insofern schließe ich mich fubar an: die bewußten funktionen werden oft als potenzreihen definiert, ihre ableitung als solche ist damit völlig legitim.

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  • L

    na gut das ist dann ansichtssache aber sicher nicht ganz legitim

    weil ohne taylor und die ableitungen auch keine reihe 😉

    und ohne reihe auch nicht die besagte ableitung

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  • F

    lookias schrieb:

    e^1=\lim{x \to \infty}(1+1/n)^n$
    e\_n(x) := (1+\frac x n )^n, \; E\_n(x) := \sum _{k=0}^n \frac {x^k} {k!}$ Dann wird die exp-Fkt. def. durch: $exp(x) = \lim _{n \to \infty}e\_n(x)= \lim \_{n \to \infty} E_n(x)$
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  • S

    lookias schrieb:

    na gut das ist dann ansichtssache aber sicher nicht ganz legitim

    weil ohne taylor und die ableitungen auch keine reihe 😉

    und ohne reihe auch nicht die besagte ableitung

    wenns ansichtssache ist, warum ists dann nicht legittm?

    Das Repetitorium der höheren Mathematik (aka schrieb:

    3.3
    [...]
    Neben der strengen Definition der trigonometrischen Funktionen durch unendliche Reihen gibt es die anschauliche Definition mittels rechtwinkliger Dreiecke am Einheitskreis.

    desweiteren ist es blödsinn, zu behaupten, daß zuerst das dreieck und dann die taylorreihe da war.

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  • L

    ex=limn→∞(1+x/n)ne^x=lim_{n \to \infty}(1+x/n)^n
    das ist bloedsinn selbst euler wusste nicht was e^x ist wenn x nicht ausZ\mathbb{Z}
    ist

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