4. Schwieriges Rätzel für mathematisch Interessierte...

Schwieriges Rätzel für mathematisch Interessierte...

  • L

    fubar schrieb:

    lookias schrieb:

    naja wenn du die ableitung der von cos ueber die reihe machst

    dann ist das so als wenn du die ableitung mit hilfe der ableitung machst

    Hmm?
    Oder man definiert sin und cos durch die Potenzreihen und die Taylorreihe ergibt sich daraus. Wie würdest du denn sin bzw. cos definieren?

    lookias schrieb:

    f(x)=∑n=1N(x−an!)n∗fn(a)f(x)=\sum_{n=1}^N\Bigg(\frac{x-a}{n!}\bigg)^n*f^n(a)

    f(x)=∑n=0∞fn(a)n!(x−a)nf(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n

    sry schreibfehler

    na wenn du da so rangehst.. allerdings war erst cos als funtkon da dann als reihe

    0
  • F

    lookias schrieb:

    und auf genau diesem weg kann man dann cos sin sinh cosh e und viele andre darstellen nur leider muss dazu die ableitung bekannt sein

    Das stimmt nicht. Die Exponentialfkt., sin, cos werden doch (IMHO meistens) über die Reihendarstellung definiert, oder wie definierst du diese Funktionen?

    f(z)=∑n=0∞a_n(z−z_0)nf(z)=\sum_{n=0}^\infty a\_n(z-z\_0)^n

    a_n=12πi∫_∣z−z0∣=rf(ζ)(ζ−zo)n+1dζa\_n = \frac 1 {2 \pi i} \int \_{|z-z_0|=r} \frac {f( \zeta )} {(\zeta-z_o)^{n+1}} d \zeta

    Ich sehe hier keine Ableitung 😉 :p

    lookias schrieb:

    allerdings war erst cos als funtkon da dann als reihe

    😕 Kannst du mal genauer erklären, was du damit meinst?

    0
  • L

    fubar schrieb:

    lookias schrieb:

    und auf genau diesem weg kann man dann cos sin sinh cosh e und viele andre darstellen nur leider muss dazu die ableitung bekannt sein

    Das stimmt nicht. Die Exponentialfkt., sin, cos werden doch (IMHO meistens) über die Reihendarstellung definiert, oder wie definierst du diese Funktionen?

    f(z)=∑n=0∞a_n(z−z_0)nf(z)=\sum_{n=0}^\infty a\_n(z-z\_0)^n

    a_n=12πi∫_∣z−z0∣=rf(ζ)(ζ−zo)n+1dζa\_n = \frac 1 {2 \pi i} \int \_{|z-z_0|=r} \frac {f( \zeta )} {(\zeta-z_o)^{n+1}} d \zeta

    Ich sehe hier keine Ableitung 😉 :p

    lookias schrieb:

    allerdings war erst cos als funtkon da dann als reihe

    😕 Kannst du mal genauer erklären, was du damit meinst?

    also

    e^1=\lim{x \to \infty}(1+1/n)^n$ das problem war frueher gerade auch nicht ganze potenzen von e zu finden cos und sin wurden durch trigonometrische sachverhaeltnisse gefunden also die alten griechen kannten wohl den cos aber nicht die taylorreihe definieren kann man wie man will aber man kann nicht ableiten mit hilfe von ableitungen der selben funktion
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  • F

    lookias schrieb:

    definieren kann man wie man will aber man kann nicht ableiten mit hilfe von ableitungen der selben funktion

    ... die man aber auch nicht braucht (siehe oben), wenn man sin, cos als Reihe auffaßt.

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  • S

    wir haben die bereits genannten potenzreihen als definition der jeweiligen funktionen kennengelernt. davon sind wir dann später auch auf den ganzen andern kram, auch taylorreihen, gekommen.

    wer oder was hindert mich jetzt daran, diese potenzreihen abzuleiten? die veranschaulichung der funktionen am einheitskreis oder an der einheitshyperbel mögen ja manchmal hilfreich sein, aber beim bilden der ableitung???

    insofern schließe ich mich fubar an: die bewußten funktionen werden oft als potenzreihen definiert, ihre ableitung als solche ist damit völlig legitim.

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  • L

    na gut das ist dann ansichtssache aber sicher nicht ganz legitim

    weil ohne taylor und die ableitungen auch keine reihe 😉

    und ohne reihe auch nicht die besagte ableitung

    0
  • F

    lookias schrieb:

    e^1=\lim{x \to \infty}(1+1/n)^n$
    e\_n(x) := (1+\frac x n )^n, \; E\_n(x) := \sum _{k=0}^n \frac {x^k} {k!}$ Dann wird die exp-Fkt. def. durch: $exp(x) = \lim _{n \to \infty}e\_n(x)= \lim \_{n \to \infty} E_n(x)$
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  • S

    lookias schrieb:

    na gut das ist dann ansichtssache aber sicher nicht ganz legitim

    weil ohne taylor und die ableitungen auch keine reihe 😉

    und ohne reihe auch nicht die besagte ableitung

    wenns ansichtssache ist, warum ists dann nicht legittm?

    Das Repetitorium der höheren Mathematik (aka schrieb:

    3.3
    [...]
    Neben der strengen Definition der trigonometrischen Funktionen durch unendliche Reihen gibt es die anschauliche Definition mittels rechtwinkliger Dreiecke am Einheitskreis.

    desweiteren ist es blödsinn, zu behaupten, daß zuerst das dreieck und dann die taylorreihe da war.

    0
  • L

    ex=limn→∞(1+x/n)ne^x=lim_{n \to \infty}(1+x/n)^n
    das ist bloedsinn selbst euler wusste nicht was e^x ist wenn x nicht ausZ\mathbb{Z}
    ist

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  • L

    scrub schrieb:

    lookias schrieb:

    na gut das ist dann ansichtssache aber sicher nicht ganz legitim

    weil ohne taylor und die ableitungen auch keine reihe 😉

    und ohne reihe auch nicht die besagte ableitung

    wenns ansichtssache ist, warum ists dann nicht legittm?

    Das Repetitorium der höheren Mathematik (aka schrieb:

    3.3
    [...]
    Neben der strengen Definition der trigonometrischen Funktionen durch unendliche Reihen gibt es die anschauliche Definition mittels rechtwinkliger Dreiecke am Einheitskreis.

    desweiteren ist es blödsinn, zu behaupten, daß zuerst das dreieck und dann die taylorreihe da war.

    naja fuer mich ist es nicht legitim wenn man das ganze von hinten aufrollt denn irgendwie ist doch die entstehung der ganzen sache wichtig um die gedankengaenge nachzuvollziehen

    und diese potenzreihen sind alle durch die taylorformel entstanden welche nunmal nicht ohne das wissen der ableitung auskommt

    nun laesst sich natuerlich darueber streiten ob man jemanden das so erklaehrt

    um solchen umwegen wie potenzreihen (was zb an dewr fh nicht gelehrt wird da es zu schwer ist) aus dem weg zu gehen

    oder ob man doch eher versucht den leuten ein verstaendnis fuer mathe zu geben

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  • F

    lookias schrieb:

    und diese potenzreihen sind alle durch die taylorformel entstanden welche nunmal nicht ohne das wissen der ableitung auskommt

    Hast du dir die anderen Beiträge eigentlich durchgelesen? Guck dir doch die Definition der Expfkt. an, dann siehst du, daß du für die Ableitung KEINE Taylorreihe benötigst.

    lookias schrieb:

    (was zb an dewr fh nicht gelehrt wird da es zu schwer ist)

    Das meinst du doch nicht ernst? Wie kommst du zu solchen Verallgemeinerungen?

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  • F

    lookias schrieb:

    ex=limn→∞(1+x/n)ne^x=lim_{n \to \infty}(1+x/n)^n
    das ist bloedsinn selbst euler wusste nicht was e^x ist wenn x nicht ausZ\mathbb{Z}
    ist

    Was ist Blödsinn? Mag ja sein, daß Euler das nicht wußte, aber was hat das mit der Formel zu tun. Seit Euler hat sich in der Mathematik durchaus ein wenig geändert.

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  • L

    fubar schrieb:

    lookias schrieb:

    ex=limn→∞(1+x/n)ne^x=lim_{n \to \infty}(1+x/n)^n
    das ist bloedsinn selbst euler wusste nicht was e^x ist wenn x nicht ausZ\mathbb{Z}
    ist

    Was ist Blödsinn? Mag ja sein, daß Euler das nicht wußte, aber was hat das mit der Formel zu tun. Seit Euler hat sich in der Mathematik durchaus ein wenig geändert.

    und?

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  • L

    fubar schrieb:

    lookias schrieb:

    und diese potenzreihen sind alle durch die taylorformel entstanden welche nunmal nicht ohne das wissen der ableitung auskommt

    Hast du dir die anderen Beiträge eigentlich durchgelesen? Guck dir doch die Definition der Expfkt. an, dann siehst du, daß du für die Ableitung KEINE Taylorreihe benötigst.

    lookias schrieb:

    (was zb an dewr fh nicht gelehrt wird da es zu schwer ist)

    Das meinst du doch nicht ernst? Wie kommst du zu solchen Verallgemeinerungen?

    I: und wie siehts mit cos aus?

    II: Stimmts denn?

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  • S

    Die Bibel schrieb:

    Potenzreihen und Taylorentwicklung
    Bei gleichem Entwicklungspunkt x0x_0 stimmen Potenzreihenentwicklung und Taylorreihenentwicklung einer Funktion ff überein.
    Sofern möglich, benutzt man daher für Taylorreihenentwicklungen nicht die Definition, sondern lieber bereits bekannte Potenzreihendarstellungen.

    das heißt für mich, daß erst die potenzreihendarstellung "da war" (und so war es in der vorlesung und in der reihenfolge stehts auch in der bibel).
    deine argumentation ist also insofern nicht allzu stabil.

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  • L

    stabil war das vor 2 tausend jahren auch noch nicht

    nur wenn man mit taylor die ableitung von cos berechnet kann man sie sich auch gleich merken

    das kommt dann dem auswendiglernen von telefonbuechern gleich

    wenn naemlich die reihe als erstes dagewesen waere dann waeren die zusammenhaenge danach gekommen und so funktioniert mathematik nunmal nicht

    man kann sich durch reihenfolge natuerlich ne menge einfach machen wenn man nem anfaenger was klar machen will

    nur ist der weg von a nach b dann nicht nachzuvollziehen

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  • ?

    @lookias
    Es gibt Mittel und Wege die Koeffizienten in der Taylorentwicklung OHNE die Ableitung zu definieren und zu berechnen. Oben wurde doch bereits ein Beispiel gegeben. Viele Potenzreihen bekannter Funktionen können auch ganz ohne das Wissen vom Taylorsatz hergeleitet werden.
    Außerdem benötigt man für die Taylorentwicklung nur den WERT von Funktion und Ableitungen an EINEM Punkt.

    Es ist also durchaus ein legitimer Weg die Reihe Gliedweise abzuleiten (falls möglich natürlich) um Zusammenhänge zu beweisen oder zu neuen Informationen zu kommen. Es kommt eben ganz darauf an wie der Dozent bzw Autor vorgeht aber es ist kein Zirkelschluss wie du meinst.

    (was zb an dewr fh nicht gelehrt wird da es zu schwer ist)

    Uff...

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  • L

    klingt logisch

    und mir ist das auch egal ob sich jemand mit irgendwelchen formeln begnuegt oder doch lieber hintergruende erfragt 🙄

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  • S

    D1BAKEL schrieb:

    Was mich noch brennend interessiert: Wie leitet man ne Summe ab? Wie geht man mit Fakultäten um?

    also hier werden keine hintergründe gefragt.

    mal davon abgesehen, daß es für alle nicht-matehmatiker ziemlich müßig sein dürfte, der geschichte der darstellung der funktionen und reihen nachzuforschen, um herauszufinden, was zuerst da war.

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  • L

    wie gesagt das geht schon beim flaecheninhalt vom kreis los

    vielleicht sollte sich da der lehrer dann gedanken darueber machen ob es ueberhaupt sinnvoll ist mit solchen reihen im unterricht zu kommen

    denn ohne weitere betrachtungen, bleibt einem jeden der keine ahnung von taylor hat, nur der blick auf eine reihe die dann keinen sinn macht.

    wo schulmathematik ja eher nur anschauungsmathematik ist

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