Karten eines n-stöckigen Kartenhauses berechnen

masterofx32

Bashar schrieb:

Was, wenn man nicht weiß, wie ein Kartenhaus gebaut wird?

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n=2 - 7 Karten

scrub

hm, vielleicht stell ichs mir zu einfach vor...

es gibt bei einem stockwerk eine sektion zu drei karten.
fürs zweite gibt es zwei weitere.
fürs dritte gibt es drei weitere.

sieht für mich nach der summe der n ersten natürlichen zahlen multipliziert mit 3 aus. da nicht gesagt wird, wie die basis des hauses aussehen soll, kann man nicht sagen, ob man noch n karten vom ergebnis abziehen soll oder nicht.

edit: nach masterofx32's skizze muß man n abziehen.

mein tip also: $m = -n + 3\cdot\sum\limits_{n=1}^{n}k$

volkard

scrub schrieb:

hm, vielleicht stell ichs mir zu einfach vor...

nö. deine sache klingt super.
dreieckszahl(n):=n*(n+1)/2

und

kartenzahl(stockwerke)=3*dreieckszahl(stockwerke)-stockwerke

3*dreieckszahl(stockwerke), weil so viele dreiecke dabei sind und
-stockwerke, weil die unteresten dreiecke keine bodenplatte haben.

test:
kartenzahl(1)=3*dreieckszahl(1)-1=3*1-1=2
stimmt

kartenzahl(2)=3*dreieckszahl(2)-2=3*3-2=7
stimmt

also ich hab deine formel nur noch um die fehlenden bodenplatten erweitert.

inlinen wir mal dreieckszahl().

kartenzahl(s)=3*s*(s+1)/2-s

und testen für s=4

kartenzahl(4)=3*4*5/2-4=30-2=28

ich kann den wert leider nicht prüfen, weil das kartenhaus immer vorher zusammenfällt, wenn ich ein neues bier aufmache.

volkard

masterofx32 schrieb:

Bashar schrieb:

Was, wenn man nicht weiß, wie ein Kartenhaus gebaut wird?
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n=2 - 7 Karten

gesucht war aber sicherlich
karten(1)=2
karten(s)=stockwerkedrüber(s)+deckenplatten(s)+wände(s)
mit stockwerkedrüber(s)=karten(s-1)
und deckenplatten(s)=s-1
und wände(s)=2s
also
karten(1)=2
karten(s)=karten(s-1)+s-1+2s
also
karten(1)=2
karten(s)=karten(s-1)+3*s-1

test:
karten(1)=2
karten(2)=2+32-1=7
karten(3)=7+33-1=15
karten(4)=15+4*3-1=26

womit bewiesen wäre, daß ich in diesem oder dem vorigen posting einen rechenfehler habe.

scrub

volkard schrieb:

also ich hab deine formel nur noch um die fehlenden bodenplatten erweitert.

moment, moment. nach der letzten skizze hat die unterste etage aber keine bodenplatte (hab ich ja auch gesagt- das geht aus der aufgabenstellung ja nicht hervor).

meine formel gilt dann, wenn das unterste stockwerk keine bodenkarten hat. für ein haus mit diesen karten addierst du einfach n.

bei einer höhe von vier etagen ergibt sich also die anzahl der karten zu 3*(1+2+3+4) = 30. wenn du jetzt noch vier bodenkarten abziehst, bleiben noch 26 karten.

masterofx32

volkard schrieb:

dreieckszahl(n):=n*(n+1)/2

kartenzahl(stockwerke)=3*dreieckszahl(stockwerke)-stockwerke

kartenzahl(n) = 3*(n*(n+1)/2)-n = (3n*(n+1)/2)-n = ((3n²+3n)/2)-n = 1.5n²+0.5n

Hach ja, Mathematik macht Spaß
Wie viele Lösungsansätze es doch für solch ein Problem gibt und man kommt trotzdem auf das gleiche Ergebnis

Nachtrag:

Ich hab noch nie gesehen, dass Bodenplatten für die unterste Ebene genutzt wurden

lookias

man koennte auch nur die ausseren karten immer abziehen dann in gedanken alle dreiecke umdrehen

dann hat man das gleiche mit n-1

edit:das meinte space wohl auch

scrub

masterofx32 schrieb:

Ich hab noch nie gesehen, dass Bodenplatten für die unterste Ebene genutzt wurden

wie will man sonst den korrekten abstand zwischen den unteren kanten der tragenden karten ermitteln?

@lookias: gehts noch komplizierter?!?

lookias

in der praxis ist der abstand eben so gross dass die karten aneinander liegen

und die symmetrie der aeusseren dreiecke sieht man

naja kompliziert ...ist aber mal was rekursives

masterofx32

scrub schrieb:

wie will man sonst den korrekten abstand zwischen den unteren kanten der tragenden karten ermitteln?

http://www.tt-performance.de/img/kartenhaus.gif
Kartenhaus 2
http://www.3d-ring.de/3d_galerie/3d_bilder/1599_4.jpg

lookias

also wenn du die karten aussen abziehst stehen sie genauso wie bei einem kartenhaus nur ebend umgedreht

volkard

scrub schrieb:

masterofx32 schrieb:

Ich hab noch nie gesehen, dass Bodenplatten für die unterste Ebene genutzt wurden

wie will man sonst den korrekten abstand zwischen den unteren kanten der tragenden karten ermitteln?

brauchst ja nur ne kartenlänge deutlich zu unterschreiten. und gute häuser haben recht spitze winkel, zu flach macht's krach. und karten auf dem boden senken den grip der wichtigsten stützstellen ungemein. also lassen wir das mal, gell?

shark95

lookias schrieb:

aber das ergebnis ist nicht linear deswegen unterstell ich dir mal dass du dich garnicht damit beschaeftigt hast

wo steht, dass es linear sein muss? ok, vl is das k*n+d ein bisschen iritierend, also: es muss nur eine Folge sein.
Wenn du mir nicht glaubst, dass ich mich damit beschäftigt habe liegst du irgendwie falsch, da ich ich eine ganze A3 Seite vollgekritzelt habe um irgendwie zu der Formel zu kommen (kann ich dir ja auch zeigen wenn du möchtest ;)).
Ich weiß zwar dass meine Formel stimmt (oder irgendwie stimmen muss), da alle Ergebnisse die ich berechnet habe richtig waren (bis h(n) = 5), doch es kann auch sein dass es bei einer Höhe von 1000 Stöcken abweicht.

Für alle die nicht wissen wie ich mir ein Kartenhaus vorstelle:

bei 1 Stock : 2 Karten
bei 2 Stöcken : 7 Karten
bei 3 Stöcken : 15 Karten
bei 4 Stöcken : 26 Karten
bei 5 Stöcken : 40 Karten
usw.

masterofx32 schrieb:

volkard schrieb:

dreieckszahl(n):=n*(n+1)/2

kartenzahl(stockwerke)=3*dreieckszahl(stockwerke)-stockwerke

kartenzahl(n) = 3*(n*(n+1)/2)-n = (3n*(n+1)/2)-n = ((3n²+3n)/2)-n = 1.5n²+0.5n

Hach ja, Mathematik macht Spaß
Wie viele Lösungsansätze es doch für solch ein Problem gibt und man kommt trotzdem auf das gleiche Ergebnis

Nachtrag:

Ich hab noch nie gesehen, dass Bodenplatten für die unterste Ebene genutzt wurden

wow cool, kannst mir sagen wie auf diesen Rechen-/Formelweg gekommen bist??

also meine Formel sieht so aus: h(n) = (n*2+2) * n/2 + n * ((n-1)/2)
kann sein, dass man da noch was kürzen kann, aber naja

mfg Shark

lookias

lookias schrieb:

wenn man sich das ganze als ein dreieck vorstellt dass mit gleichgrossen dreiecken gefuellt ist dann stehen unten so viele dreiecke wie das ding hoch ist und die anzhal der dreiecke nimmt mit jedem stock einen ab also einfach die dreiecke afsummieren

1+2+3+4+..+n=n*(n+1)/2 das ganze mal drei und die unteren n karten abziehen weil ja unten keine leigen

macht 3*n*(n+1)/2-n

aber das ergebnis ist nicht linear deswegen unterstell ich dir mal dass du dich garnicht damit beschaeftigt hast

wer lesen kann ist klar im vorteil

masterofx32

shark95 schrieb:

also meine Formel sieht so aus: h(n) = (n*2+2) * n/2 + n * ((n-1)/2)
kann sein, dass man da noch was kürzen kann, aber naja

mfg Shark

(n*2+2) * n/2 + n * ((n-1)/2) =  (2n+2) * 0.5n + (0.5n(n-1)) = (n²+n) + (0.5n²-0.5n) = 1.5n²+0.5n

Die einzelnen Ansätze waren ja eigentlich schon recht ausführlich beschrieben, aber wenn man nicht so den "Adlerblick" für das Aufstellen solcher Gleichungen hat, kann man ja versuchen, es in mehrere Gleichungen aufzuteilen und sich vielleicht eine Tabelle anzufertigen. Damit sollte es dann auch für Personen, denen die Mathematik nicht so liegt offensichtlich sein.

Hoehe  Seitenkarten Diff Bodenkarten Diff Gesamt
    1             2    2           0    0      2
    2             6    4           1    1      7
    3            12    6           3    2     15
    4            20    8           6    3     26
    5            30   10          10    4     40

Und spätestens dann sollte man die Gleichungen erkennen:

seitenkarten(n) = n*(n+1) 
bodenkarten(n) = n*((n-1)*0.5))

Addiert man diese, erhält man wieder die bekannte Gleichung 1.5n²+0.5n

lookias

ich wuerde sagen der beste weg zur loesung ist sich das ganze in einem andren modell vorzustellen zb als dreieck dass von dreiecken gefuellt ist

da wird dann naemlich gut davon abstrahiert dass das eigentlich dreidimensional ist und einfach ins 2 dimensionale uebertrtagen

scrub

was ist daran denn bitte "eigentlich dreidimensional"? das kartenhaus an sich? wer die abstraktion nicht hinkriegt, sollte es lieber lassen.

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man kann sofort erkennen, daß einfach die bereits erwähnte summe*3 gebildet wird. dann muß man noch die unteren karten abziehen, fertig.

lookias

jung zuegle dich

stress macht alt und stress der nicht sein muss bringt kein geld ein

scrub

dummes gelaber und nichtantworten auf fragen bewirkt, daß man mit anderen redet, als wäre man selbst ihr opa.

laß das bitte, ja? danke, ich hab dich auch lieb.

masterofx32

Ich denke, wir sind uns alle einig, dass es viele Möglichkeiten gibt, diese Problemstellung zu abstrahieren/logische Teilgruppierungen zu erzeugen und das man damit dennoch zur gleichen Lösung kommt Also nicht hauen bitte