Integrieren (mal wider)

[Andreas XXL]

Wie berechne ich das unbestimmte Integral von

(2x) / (x^2-4x+5)

????????????????????????

Ich komme darauf, weil ich die Aufgabe von MisterX (Thread Partialbruchzerlegung) ausrechnen aund dann aus Spaß mal Integrieren wollte!

Die Partialbruchzerlegung war ja weniger das Problem, aber wie integriere ich so ein besch... eiden Partialbruch?

[fubar]

Naja, du könntest (2x) / (x^2-4x+5) erst einmal schreiben als
$\frac {2x} {x^2-4x+5} = \frac {2x-4} {x^2-4x+5} + \frac {4} {x^2-4x+5}$
Jetzt kannst du den ersten Bruch schon intgerieren (Zähler ist die Ableitung vom Nenner), den zweiten kannst du dann schreiben als
$\frac {4} {x^2-4x+5} = 4 \frac {1} {1 + (x-2)^2}$
Das ist ein verschobener arctan.

[lookias]

wie waers mit

$x^2-4x+5=(x-2)^2+1$ dann substituieren $y=x-2 ,dx=1$ also {\Huge$\frac{2\*y+4}{y^2+1}=\frac{2\*y}{y^2+1}+\frac{4}{y^2+1}$\\ $\cdots \int4*\frac{1}{y^2+1}=4*arctan(y)$}\\ dann {\Huge$\frac{2*y}{y^2+1}$} partiell integrieren\\ wobei $\int arctan(x)=x\*arctan(x)-1/2\*ln(x^2+1)$