Ableitung der Betragsfunktion?

henselstep

sei
g(x)=(f(x))^x
=>
g'(x)=(f'(x)*(f(x))^x))/f(x)

fubar

Nö, $g'(x)=f(x)^x \left( \ln f(x) + \frac {xf'(x)} {f(x)}\right)$ .

lookias

hallo

$ {\Huge \mid x\mid=\sqrt{x^2}$ abgeleitet: $\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\mid x\mid}=sgn(x)$}

hackbert

fubar schrieb:

Nö, $g'(x)=f(x)^x \left( \ln f(x) + \frac {xf'(x)} {f(x)}\right)$ .

Nach welcher Regel wird das gemacht? Hast Du dazu einen Link, z.B. bei Wikipedia oder so?

lookias schrieb:

$ {\Huge \mid x\mid=\sqrt{x^2}$ abgeleitet: $\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\mid x\mid}=sgn(x)$}

Mist, darauf hätte ich auch kommen können Danke!

P.S.: Es wird bald eine Online-Demo geben, in der man das Programm dann zum Ableiten benutzen kann.

fubar

$(f(x))^x=e^{x \ln f(x)}$
Dann kannst du mit Kettenregel und Produktregel die Ableitung bestimmen ...

lookias

nix zu danken.

es wuerde auch so gehen

$\mid x\mid =sgn(x)*x$ abgeleitet: $0.x+sgn(x)*1=sgn(x)$

man muesste dann nur per definition zeigen dass die ableitung in 0 nicht def. ist.

das is aber langweilig

hackbert

fubar schrieb:

$(f(x))^x=e^{x \ln f(x)}$
Dann kannst du mit Kettenregel und Produktregel die Ableitung bestimmen ...

Ok, jetzt komme ich auch auf:
$g'(x)=f(x)^x \left( \ln f(x) + \frac {xf'(x)} {f(x)}\right)$

Danke für alle Antworten. Hat mir sehr geholfen...

Hi,

ohne jetzt alles gelesen zu haben, scheint ihr die Ableitung der abs-Funktion
nicht so ganz richtig zu machen. So ist ja z.B abs(x^2) überall diffbar,
insbesondere auch in 0.

Jockel

lookias

Jockelx schrieb:

Hi,

ohne jetzt alles gelesen zu haben, scheint ihr die Ableitung der abs-Funktion
nicht so ganz richtig zu machen. So ist ja z.B abs(x^2) überall diffbar,
insbesondere auch in 0.

Jockel

das ist hier insbesondere die folge davon dass der rechtsseitige und linksseite grenzwertt dieser fkt gegen null geht und sgn(+0)=sgn(-0)=0

noch spezieller in deinem bsp ist ja abs(x^2)=x2 aber zb bei x^3 gilt das mit der 0

versuch das selbe mit einer fkt bei der das nicht so ist, die aber verschiedenes vorzeichen hat zb abs(sin(x)) da hat man in 0 auch keinen erfolg

man muss halt nach definition gehen

btw mir faellt gerade auf das maple abs(sqrt(x)) auch im negativen bereich der x-achse plottet, muss wohl daran liegen dass ,maple einfach die funktionenreihenfolge vertauscht

lookias schrieb:

versuch das selbe mit einer fkt bei der das nicht so ist, die aber verschiedenes vorzeichen hat zb abs(sin(x)) da hat man in 0 auch keinen erfolg

Okay:

x^2 für x >= 0
f(x) = 
       -x^2 für x < 0

Jockel

lookias

also die funktion hat auch anstieg 0 in 0

das ist aber auch der einzige fall bei dem der anstieg sein vorzeichen wechselt, in dem punkt, und die ableitung stegig dort ist

lookias schrieb:

also die funktion hat auch anstieg 0 in 0

Die Bedingung hatte ich nicht gesehen. So macht es mehr Sinn.
Probleme bereiteten aber noch Funktionen, die nicht diffbar sind,
deren Betrag aber sehrwohl:

1 x aus Q
f(x) = 
       -1 x aus R/Q

Naja, wird für den Fragesteller wohl eh uninteressant sein.

Jockel

lookias

nun

wenn f(x) eine eigenschaft hat

dann muss nicht f(g(x)) oder g(f(x)) dieselbe eigenschaft haben

insbesondere nicht bei der ableitung, wegen f'(g(x))*g'(x)

sind doch immernoch die eigenschaften beider funktionen wichtig,

in deinem bsp hebt sich die "negative" eigenschaft halt auf.

genauso wenn du in abs(x) x mit x^2 ersetzt

Wir reden aneinander vorbei.

Es ging damit los, dass gesagt wurde abs(f(x)) sei nicht diffbar in
x mit f(x) = 0.

Das habe ich widerlegt, worauf hin die Einschränkung
"ausser wenn Steigung = 0 ist" kam. Welche ebenfalls widerlegt wurde.

Ich weiss gar nicht, worüber wir hier noch reden?

Jockel

lookias

hackbert schrieb:

Hallo!
Ich schreibe derzeit an einer Mathematiklibrary und implementiere gerade sämtliche Ableitungsregeln. Bis jetzt klappt das auch ganz gut. Nur bei zwei Funktionen kommen Zweifel auf:

1. Betragsfunktion
2. Integer-Funktion

Die beiden Funtkionen sind nicht in ganz R differenzierbar (oder liege ich falsch?). Was ist mit den anderen Stellen?

Danke schonmal im Voraus für alle Antworten!

betragsfunktion sieht bei mir so aus abs(x)

abs(f(x)) war dein einwurf, und darum gehts ja hier oder?

steigung 0 ist in diesem speziellen fall so, nicht allgemein.
scheint wirklich so als wuerden wir aneindar vorbeireden.

hackbert

So. Ich habe jetzt die meisten Regeln implementiert. Theoretisch (!!!) sollte die Software jetzt dazu in der Lage sein beliebige Funktionen abzuleiten.
Wer es mal ausprobieren möchte, der findet hier eine Webdemo:

http://crock.servequake.com/~hackbert/cwmp-test/cwmp.php

Dort bitte aus der Liste "Nach x ableiten" wählen. Er kann auch nach anderen Variablen ableiten, aber ich war zu faul ein Webinterface dafür zu schreiben. Das Programm ist case-sensitive, achtet also auf groß- und Kleinschreibung (X ist nicht das selbe wie x). Funktionsnamen müssen klein geschrieben werden und die Argumente immer in Klammern (sin(x), nicht Sin(x) oder sin x).
Wer mehr Interesse an dem Programm hat, der kann sich auch Folgendes mal ansehen:

http://www.c-plusplus.net/forum/viewtopic-var-t-is-105463.html
http://sourceforge.net/projects/cwmp (Projektseite bei Sourceforge)
http://cwmp.sourceforge.net/ (Projekthomepage)

Edit: Zum Teil sehen die Ableitungen abenteuerlich aus, weil die Vereinfachungsroutinen nicht sehr weit fortgeschritten sind... Mathematisch gesehen müssten die Ableitungen aber immer stimmen.

scrub

wenn ich einen ausdruck ableite, der e^x oder was derartiges enthält, wird im ergebnis der dezimalwert von e ausgegeben. vielleicht ist das ein ansatzpunkt für eine optimierung.

Die ersten paar Sachen die ich eingegeben habe, sahen gut aus!
Sehr nett!

abs ist allerdings (siehe diskussion) nicht so toll.

Jockel

"Graph zeichnen" macht nix, falls f irgendwo nicht definiert (ln(x), 1/x,...)

scrub

noch ein fehler: die ableitung unserer lieben betragsfunktion ist laut deinem tool = 0.