Umformung

Hallo, kann mir jemand erklären wie ich die Funktion

$f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}$

nach

$f(x)=\frac{x}{1-\frac{1}{x^2}}$

umforme?
Steht so in meinem Mathebuch, aber ohne weiter Erklärung.

Ponto

Abgesehen davon, dass die untere Funktion für 0 nicht definiert ist, kann man in Zähler und Nenner x^2 ausklammern und dann kürzen.

Taurin

Also ich kann das gar nicht umformen ohne meinen kleinen Zauberstab, der im Nenner aus einem Plus nen Minus macht...

LunaGirl

Mit Voodoo geht es auch ohne einen Zauberstab!

Ponto

Taurin schrieb:

Also ich kann das gar nicht umformen ohne meinen kleinen Zauberstab, der im Nenner aus einem Plus nen Minus macht...

Ups, übersehen.

Also im Buch steht:

$\displaystyle \lim_{x \to\infty} \frac{x^3}{x^2+1} = \lim_{x \to\infty} \frac{x}{1-\frac{1}{x^2}} = \infty$
(Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1, 7. Auflage, Seite 173)

Da ich gestern als ich den Beitrag geschrieben hab die Latex-Tags für den Grenzwert nicht kannte hab ich einfach f(x) geschrieben.
Ich dachte die Umformungsregeln wären die selben, wenn nicht aber bitte nicht schlagen.

dEUs

Wenn beim zweiten Limes statt dem Minus ein Plus stehen würde, käme man, wie bereits gesagt wurde, durch Ausklammern von $x^2$ und anschliessendes Kürzen auf den Term. IMHO ist das Minus also entweder ein Schreibfehler von dir oder von deinem Mathebuch.

Lawilog

is aber nu auch nich soo wesentlich, weil 1/x² im unendlichen sowieso 0 wird...

dEUs

i know

Mal ne andere Frage: Kann ein Grenzwert unendlich sein? Ich hab das so gelernt, dass ein Grenzwert nicht existiert, wenn $f(x) \to\infty$ für $x \to\infty$

fubar

Liegt daran, ob du $\mathbb R$ oder $\mathbb R \cup \{ \pm \infty \}$ betrachtest.

Taurin

gelöscht

Konfusius

Hallo, kann mir jemand erklären wie ich die Funktion umforme?

garnicht. die beiden funktionen sind verschieden.

Mal ne andere Frage: Kann ein Grenzwert unendlich sein?

eigentlich nicht. man spricht stattdessen von divergenz. im eindimensionalen fall klappt das mit grenzwert=unendlich ja noch halbwegs, aber bei vektoren gibts unendlich viele unendliche vektoren mit verschiedenen richtungen und dann wirds richtig haarig.

die beiden funktionen müssen auch nicht gleich, dh ineinaner umformbar, sein um beide zu divergieren. die "limesgleichung" in deinem lehrbuch ist auch unglücklich formuliert. du mußt halt für jeden der beiden limesterme einzeln nachweisen, daß sie divergieren.

Wo steht, daß die Terme umgeformt werden müssen?
Ich kann nur herauslesen, das der Grenzwert beider Terme gegen Unendlich strebt, und das ist zweifellos der Fall.

Konfusius schrieb:

Mal ne andere Frage: Kann ein Grenzwert unendlich sein?

eigentlich nicht. man spricht stattdessen von divergenz.

Sinnvoll ist von uneigentlicher Konvergenz zu sprechen, um nochmal
zwischen Divergenz unterscheiden zu können.

Jockel

Wo wir gerade dabei sind...
kann mir jemand den Unterschied zwischen Asymptote und Grenzwert erklären?
Irgendwie blicke ich da nicht so recht durch...

Walli

Asymptoten sind wenn man so will nur Tangenten im Unendlichen. Sonderfälle wie vertikale Asymptoten (x = irgendwas) findet man an Polstellen, horizontale, wenn ein Grenzwert für $x\rightarrow\pm\infty$ existiert. Ansonsten musst du dir z.B. bei gebrochenrationalen Funktionen neben den Polstellen noch Zähler und Nennergrad anschauen und ggf. eine Polynomdivision vornehmen um die Asymptoten zu bestimmen. Mehr wird meist nicht verlangt.

Zeichne dir z.B. mal die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ auf, dann wird dir der Unterschied klar. Die Asymptoten wären in dem Falle die Horizontale $a(x) = 0$ und die Vertikale bei $x = 0$ . Die Grenzwerte im Unendlichen sind $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=0$ . An der Polstelle beobachten wir: $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\infty$ und $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=-\infty$ .