4. Brauch nen Tipp bei einer Aufgabe zur Quantenmechanik

Brauch nen Tipp bei einer Aufgabe zur Quantenmechanik

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    Zeigen Sie, dass die Heisenbergsche Unschärferelation für ein Teilchen im Grundzustand des eindimensionalen unendlichen [ich nehme an, das soll 'unendlich' heißen?] hohen Potentialtopfes erfüllt ist.

    So ein Potentialtopf ist praktisch eine Röhre, die am Rand ein unendlich hohes Potential hat, damit das Teilchen darin gefangen ist.
    Ich kann die Energie eines Teilchens im Grundzustand berechnen. Jetzt müsste ich wohl zeigen, dass man die Zeit nicht beliebig genau bestimmen kann, denn Energie und Zeit sind so wie Impuls und Ort zwei Observablen (= nicht gleichzeitig genau beobachtbare Größen). Ich habe aber nur eine zeitunabhängige Schrödingergleichung zur Verfügung, mit der ich in Abhängigkeit vom Ort die Aufenthaltswahrscheinlichkeitdichten angeben kann, amsonsten wüsst ich nicht, was an einem Potentialtopf noch so besonders ist. 😕
    Und warum ist der unendlich hoch, hat das einen speziellen Grund? (mit der Höhe steigt das Energieniveau und die Wellenfrequenz)

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  • H

    Haben wir mal in der Analysis-Vorlesung gemacht. Transformiere mal einfach in den Phasenraum.

    Ich hoffe, ich irre mich in der Aufgabenstellung nicht. Hatte zwar die Mathematik, aber nicht die dahintersteckende Physik verstanden.

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    Von Phasenräumen weiß ich nichts. Möglicherweise ist das nicht exakt das selbe Thema. Ich editiere meinen Beitrag nochmal und versuch, konkreter zu werden.

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    also ich würd da ansetzen, indem ich mal die Schwankungen ausrechne, also Δx und Δ p und mir das Produkt ausrechne.
    Das Delta x ist definiert, glaub, als $ \sqrt{|<x>2-<x2>|}$.

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    unendlicher Potentialtopf = unendlich hoher potentialtopf
    Damit man die Lösungen besser ausrechnen kann 🙂

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  • K

    Die Ortsunschärfe im Potentialtopf der Breite L ist Δx=L\Delta x = L.
    Die Energie ist E=⟨H^⟩=⟨p^2⟩2mE = \langle {\hat H} \rangle = \frac{\langle {\hat p}^2 \rangle}{2m}
    Wenn du die Energie im Grundzustand kennst, solltest du Δp\Delta p berechnen können.

    Der unendlich hohe Potentialtopf ist halt relativ einfach zu behandeln, es gibt nur ein diskretes Spektrum mit gebundenen Zuständen. Das Eigenwertproblem ist recht einfach, die Funktion muss nur an den Rändern verschwinden und ist oszillatorisch.
    Ist er endlich tief, muss man abhängig von der Energie verschiedene Fälle betrachten... (uU kontinuierliches und auch entartetes Spektrum, Wellenreflexion und -transmission)

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  • ?

    Danke für deine Antwort. Ich bin soeben nach Hause gekommen und habe bis jetzt folgende Erkenntnisse gemacht:

    Ich habe ebenfalls mit dem Hamilton-Operator die Energie berechnet und mit der im Grundzustand mit Quantenzahl 1 gleichgesetzt.
    ( E1+ = (pi² * h_²) / (8ma²)

    Nach ein paar Umformungen komm ich auf (d = delta):
    dx p = 0.5 h

    Was die Ortsunschärfe ist, ist ja auch klar.

    Wenn du die Energie im Grundzustand kennst, solltest du dp berechnen können.

    Das ist genau das einzige, was ich noch nicht kann. 😞
    dp scheint 2p zu sein, dies steht außerdem auch noch in einem Buch über Quantenphysik bei einem Kapitel über unendliche Potentialkasten. Ich kapiere aber nicht, warum. 😕 Wird dort leider auch überhaupt nicht begründet, sondern nur in einem Nebensatz erwähnt.

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  • K

    Erstmal nach dem was "dark force feedback joyst" ansprach:

    (Δp)2=<(p−<p>)2>=<p2>−<p>2=<p2>(\Delta p)^2 = <(p - <p>)^2> = <p^2> - <p>^2 = <p^2>

    Dabei wurde benutzt, dass der Erwartungswert des Impulses <p>=0<p>=0 sein wird.

    Sei nun die Energie E=Emin=ℏ28ma2E = E_{min} = \frac{\hbar^2}{8ma^2}. Damit:

    (Δp)2=E⋅2m=ℏ28ma2⋅2m=(ℏ2a)2(\Delta p)^2 = E \cdot 2m = \frac{\hbar^2}{8ma^2} \cdot 2m = \left( {\frac{\hbar}{2a}}\right)^2

    Also hat man Δp=ℏ2a\Delta p = \frac{\hbar}{2a} und Δx=a\Delta x = a. Das Produkt davon liefert schließlich:

    Δp⋅Δx=ℏ2a⋅a=ℏ2\Delta p \cdot \Delta x = \frac{\hbar}{2a} \cdot a = \frac{\hbar}{2}

    Deine Grundzustandsenergie E1+ sollte größer sein als die hier verwendete Energie E_min.
    (Falls es nicht richtig zu erkennen ist, ich hab im latex-code nicht h sondern immer "h quer" = h/(2 pi) verwendet ;))

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  • ?

    Wow, danke. 🙂 Werd ich morgen mal studieren. Irgendwie hat mir die klassische Mechanik besser gefallen. 🤡
    Alles klar, das Thema ist erledigt. Danke an alle Helfer.

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  • K

    Np.
    Is Gewöhnungssache. Irgendwie hört sich das für mich so an, als wärst vorm Physik-Vordipl? IdR werden da KM-Aufgaben höher bewertet als QM-Aufgaben. An welcher Uni bist du? Edyn im sechsten? Jedenfalls viel Glück 🙂

    Gruß kwot

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    Ich studiere Informatik an der FH München, derzeit im vierten Semester. Bin also nicht so der Physik-Crack. 😃

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  • K

    Oha. Was ist das dann? ExPhys (2?) oder musst du Theo hören?

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  • S

    naja, was heißt das schon- find ich schon ziemlich stark (wenn ich mir überlege, daß wir dasselbe thema ebenfalls im vierten semester behandeln werden und die gegenwärtigen hörer der vorlseung schon wie verrückt davon "schwärmen").

    @kwot: wo kommst du her (= wo hast du dein dipl. ? gemacht)?

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  • K

    Ich komm aus Stuttgart, hab aber kein Dipl gemacht, fand QM aber interessanter als KM.

    Und du?

    edit: deine signatur erinnert mich an http://lachschon.gamigo.de/screens/200308/Clam-1062088119.jpg

    edit2: @Optimizer: von welchem Buch hast du gesprochen?

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  • S

    karlsruhe, aber ex-phys und edyn klangen mir irgendwie nach hier.

    wobei edyn vor ein paar jahren gestrichen wurde. wenn das so weitergeht, brauchen wir uns um niveau echt keine sorgen mehr machen.

    edit: das bild, das du da verlinkt hast, zeigt das motto unserer o-phase *g*

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    kwoTx schrieb:

    Oha. Was ist das dann? ExPhys (2?) oder musst du Theo hören?

    Das ist Technische Physik, eine Vorlesung, die sich über ein Semester erstreckt.

    edit2: @Optimizer: von welchem Buch hast du gesprochen?

    Ich hab mir mal "Quantenphysik" von Alonso/Finn ausgeliehen, hat mir aber insgesamt jetzt auch nicht so viel geholfen.

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  • N

    Quantenphysik ist cool. 🕶
    Hab' mich nie für Physik begeistern können, als dann aber im LK Quantenmechanik drankam war das endlich mal interessant. Man muss das ganze eher philosophisch betrachten. Niels Bohr hat mal sowas gesagt, wie "Wer behauptet er hätte die Quantenphysik verstanden, der hat sie nicht verstanden."
    Hab auch mal die Biographie von Heisenberg gelesen ("Der Teil und das Ganze"). Fand ich auch ziemlich interessant.

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