Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

[Brutus]

Neescher, glaubst du eigtl. immernoch, dass MJ das gleiche wie JM ist?

[Neescher]

Es kommt auf die Aufgabe an. Spielt die Reihenfolge bzw. das Alter der Kinder keine Rolle, ist MJ das gleiche wie JM.

[Neescher]

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;

namespace Wahrscheinlichkeit
{
	class Program
	{
		static void Main(string[] args)
		{
			Random rdm = new Random();

			int count_Kind1_am_Fenster = 0;
			int count_Kind2_am_Fenster = 0;

			int count_MM = 0;
			int count_MF = 0;
			int count_FM = 0;
			int count_FF = 0;

			int count_AnderesGeschlechtWieAmFenster = 0;
			int count_GleichesGeschlechtWieAmFenster = 0;

			int Kind1_Geschlecht;
			int Kind2_Geschlecht;

			const int Male = 0;
			const int Female = 1;

			for (int i = 0; i < 1000000; ++i)
			{
				Kind1_Geschlecht = rdm.Next() % 2;
				Kind2_Geschlecht = rdm.Next() % 2;

				int Kind_Am_Fenster = rdm.Next() % 2;
				if (Kind_Am_Fenster == 0)
					++count_Kind1_am_Fenster;
				else
					++count_Kind2_am_Fenster;

				if (Kind1_Geschlecht == Male)
				{
					if (Kind2_Geschlecht == Male)
					{
						++count_MM;
						++count_GleichesGeschlechtWieAmFenster;
					}
					else
					{
						++count_MF;
						++count_AnderesGeschlechtWieAmFenster;
					}
				}
				else
				{
					if (Kind2_Geschlecht == Male)
					{
						++count_FM;
						++count_GleichesGeschlechtWieAmFenster;
					}
					else
					{
						++count_FF;
						++count_AnderesGeschlechtWieAmFenster;
					}
				}
			}
			Console.WriteLine("Kind 1 am Fenster: " + count_Kind1_am_Fenster.ToString());
			Console.WriteLine("Kind 2 am Fenster: " + count_Kind2_am_Fenster.ToString());
			Console.WriteLine();
			Console.WriteLine("M/M: " + count_MM.ToString());
			Console.WriteLine("M/F: " + count_MF.ToString());
			Console.WriteLine("F/M: " + count_FM.ToString());
			Console.WriteLine("F/F: " + count_FF.ToString());
			Console.WriteLine();
			Console.WriteLine("Anderes Geschlecht: " + count_AnderesGeschlechtWieAmFenster.ToString());
			Console.WriteLine("Gleiches Geschlecht: " + count_GleichesGeschlechtWieAmFenster.ToString());
			Console.Read();
		}
	}
}

Output:

Kind 1 am Fenster: 499717
Kind 2 am Fenster: 500283

M/M: 249682
M/F: 249905
F/M: 249254
F/F: 251159

Anderes Geschlecht: 501064
Gleiches Geschlecht: 498936

Das ist jetzt fuer beide Geschlechter. Wenn wir jetzt nur die Welten zaehlen, in denen ein Junge (wird mir wohl jeder zustimmen, dass das 50% sind) am Fenster steht, bleiben die Wahrscheinlichkeiten ja gleich. Also 50%, dass das andere Kind vom gleichen Geschlecht ist.

Neescher

[b7f7]

volkard schrieb:

b7f7 schrieb:

volkard schrieb:

<ironie>hast recht. ich vergaß, daß auch die münze eine viel viel höhere wahrsceinlichkeit hat, zahl zu zeigen, wenn sie 10 jahre lang jeden tag zahl zeigte. </ironie>

man könnt fast annehmen das die Münze eine Fehlprägung ist und Beidseitig Zahl hat?

ab wann soll man das annehmen. ab einem wurf? ab 10 würfen? ab 100 würfen? vielleicht reichen 100000 würfe nicht aus, um eine fehlprägung eines euros glaubwürdig zu machen, weil es einfach keine gibt. vielleicht reichen 5 würfe aus, um eine fehlprägung eines texanischen dollars aus dem vorletzten jahrhundert glaubhaft zu machen?
mit dem wissen über die münze ändert sich also die wahrscheinlichkeit, die ich annehmen muss. aber ihr seid so vermessen, völlig ohne zusatzwissen einfach etwas anzunehmen und dan ganz mathematisch zu tun und einen scheiß auszurechnen. die mädchen-jungen-aufgabe bleibt uneindeutig. ich gebe euch recht, daß man nach 10 jahren und jedem tag zahl als normaler mensch doch annehmen sollte, daß die münze eine fehlprägung ist. aber aber ganz ganz sicher bin ich nicht. mit welcher wahrscheinlichkeit soll ich fehlprägung annehmen und mit welcher wahrscheinlichkeit soll ich korrrekte münze annehmen? dann rechne ich beide lösunen aus und gewichte mit den wahrscheinlichkeiten und das gewichtete mittel ist die echte lösung.

um genau zu sein, ihr schwappt ruckartig, unstetig von JJ, JM, MJ, MM nach JJ, JM, MJ, sobald ihr einen nachweis habt, daß MM nicht sein kann. mit diesem unglaubhaften ruck erzeugt man 2/3. und die anderen bewegen sich gar nicht und bleiben bei 1/2. und wer sich ein wenig bewegen würde, bekäme eine lösung dazwischen.

das gild alles bei einem Stichprobenumfang von unendlich. Ich dachte soetwas muss man nicht noch definieren und kann es als gegeben ansehen.
Ich für meinen Teil Schwappe garnicht.
ich schliesse lediglich die unmögliche Möglichkeit aus.
ich schliesse aus das [Mädchen,Mädchen] existiert.
und dadurch gibt es nur noch 3 Gleichwahrscheinliche Möglichkeiten.
und wenn ich unendlich oft die Belegung beobachte wird sich ein 2/3: !/3 Verhältis für das restkind ergeben.
Wenn nicht, dann liegt der Fehler daran, das zB eltern dazu tendieren gemischtgeschlechtige Kinder zu zeugen, oder der Storch sich denkt, die ham Abwechslung verdient. aber in der Aufgabe sind mir keine demographischen Anhaltpunkte gegeben und ich dar Dinge wie Gleichverteilung annehmen.

[Neescher]

b7f7 schrieb:

volkard schrieb:

b7f7 schrieb:

volkard schrieb:

<ironie>hast recht. ich vergaß, daß auch die münze eine viel viel höhere wahrsceinlichkeit hat, zahl zu zeigen, wenn sie 10 jahre lang jeden tag zahl zeigte. </ironie>

man könnt fast annehmen das die Münze eine Fehlprägung ist und Beidseitig Zahl hat?

ab wann soll man das annehmen. ab einem wurf? ab 10 würfen? ab 100 würfen? vielleicht reichen 100000 würfe nicht aus, um eine fehlprägung eines euros glaubwürdig zu machen, weil es einfach keine gibt. vielleicht reichen 5 würfe aus, um eine fehlprägung eines texanischen dollars aus dem vorletzten jahrhundert glaubhaft zu machen?
mit dem wissen über die münze ändert sich also die wahrscheinlichkeit, die ich annehmen muss. aber ihr seid so vermessen, völlig ohne zusatzwissen einfach etwas anzunehmen und dan ganz mathematisch zu tun und einen scheiß auszurechnen. die mädchen-jungen-aufgabe bleibt uneindeutig. ich gebe euch recht, daß man nach 10 jahren und jedem tag zahl als normaler mensch doch annehmen sollte, daß die münze eine fehlprägung ist. aber aber ganz ganz sicher bin ich nicht. mit welcher wahrscheinlichkeit soll ich fehlprägung annehmen und mit welcher wahrscheinlichkeit soll ich korrrekte münze annehmen? dann rechne ich beide lösunen aus und gewichte mit den wahrscheinlichkeiten und das gewichtete mittel ist die echte lösung.

um genau zu sein, ihr schwappt ruckartig, unstetig von JJ, JM, MJ, MM nach JJ, JM, MJ, sobald ihr einen nachweis habt, daß MM nicht sein kann. mit diesem unglaubhaften ruck erzeugt man 2/3. und die anderen bewegen sich gar nicht und bleiben bei 1/2. und wer sich ein wenig bewegen würde, bekäme eine lösung dazwischen.

das gild alles bei einem Stichprobenumfang von unendlich. Ich dachte soetwas muss man nicht noch definieren und kann es als gegeben ansehen.
Ich für meinen Teil Schwappe garnicht.
ich schliesse lediglich die unmögliche Möglichkeit aus.
ich schliesse aus das [Mädchen,Mädchen] existiert.
und dadurch gibt es nur noch 3 Gleichwahrscheinliche Möglichkeiten.
und wenn ich unendlich oft die Belegung beobachte wird sich ein 2/3: !/3 Verhältis für das restkind ergeben.
Wenn nicht, dann liegt der Fehler daran, das zB eltern dazu tendieren gemischtgeschlechtige Kinder zu zeugen, oder der Storch sich denkt, die ham Abwechslung verdient. aber in der Aufgabe sind mir keine demographischen Anhaltpunkte gegeben und ich dar Dinge wie Gleichverteilung annehmen.

Bei meinem obigen Beispiel hat sich aber 1/2 : 1/2 ergeben. Die Kinder waren aber gleich verteilt.

Neescher

[scrontch]

Mein Senf hat noch gefehlt...
Die zwei Lösungen haben ihre Berechtigung und die entsprechende Herleitung ist jeweils unbestritten.
Jetzt bleibt nur die Frage welchen "Versuchsaufbau" man aus der Fragestellung herausliest.
Das Grundproblem ist doch folgendes:
Wir machen Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten (d.h. zu relativen Häufigkeiten von bestimmten Variablen bei hinreichend vielen Versuchen), ausgehend von einem einzigen konkreten Experiment. Wir müssen also die Aussagen in Beziehung setzen zu der Art und Weise wie wir die relativen Häufigkeiten der Variablen bei n Versuchen definieren würden, kurz wie wir die Reihe aufbauen würden um n Versuche zu machen.

Die zwei Möglichkeiten sind (übertrieben formuliert):

A. "Man sieht einen Jungen am Fenster" ==
Ein Zufallsexperiment bei dem mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein beliebiges der zwei Kinder am Fenster steht (=dessen Geschlecht mir mitgeteilt wird), ist zu Gunsten eines Jungen ausgegangen.

Um eine Aussage über den Erwartungswert des Geschlechts des zweiten (nicht gesehenen) Kindes zu machen müsste man das Experiment mit vielen beliebig konfigurierten (gleichverteilten) 2-Kind-Nachbarsfamilien durchführen, wobei das Geschlecht des ungesehenen Kindes nur dann gezählt wird, wenn das gesehene ein Junge ist.

=> Der Erwartungswert für Mädchen bei dieser Versuchsreihe ist 1/2

B. "Man sieht einen Jungen am Fenster" ==
Von allen möglichen Konstellationen von Nachbarsfamilien mit zwei Kindern sind nur diejenigen zu betrachten, welche mindestens einen Jungen haben. Von diesen wird ein Junge als "am Fenster gesehen" definiert.
Nur für diese Familien mache ich eine Aussage zum Geschlecht des zweiten Kindes.

Um eine Aussage über den Erwartungswert des Geschlechts des zweiten (nicht gesehenen) Kindes zu machen müsste man das Experiment mit vielen ausgewählten (mindestens 1 Junge-)Nachbarsfamilien durchführen, bei denen jedesmal das Geschlecht des ungesehenen Kindes gezählt wird.

=> Der Erwartungswert für Mädchen bei dieser Versuchsreihe ist 2/3

Bezüglich der Überprüfbarkeit ist Variante B zweifellos restriktiver und erscheint weniger natürlich. Denn hier benötigt man einen Experimentator der bewußt bestimmte natürlich auftretende Fälle aussortiert. Es wird vor dem Beginn des eigentlichen Experimentes eine Wahl getroffen und diese per Definiton (a posteriori) festgelegt.

Wir gehen hier davon aus, dass uns in der fiktiven Versuchsreihe überhaupt nur solche Fälle präsentiert werden könnten die mit den Beobachtungen des vorliegenden konkreten Falls übereinstimmen.
Variante A hingegen setzt lediglich voraus, dass der vorliegende konkrete Fall eine kompatible Realisierung der allgemeinst möglichen Versuchsreihe ist.
Man beachte den subtilen Unterschied.

Scrontch!

[Daniel E.]

Können wir nicht die ganzen Massenversuche, Versuchsreihen und Wörter wie "immer" und "nie" einfach weglassen, davon steht in der Aufgabe schließlich nichts.

Wir haben einen Fall, bei dem wir wissen:

(1) Die Familie hat zwei Kinder
(2) Mindestens eines davon ist ein Junge

Wenn wir (was anscheinend Konsens ist), annehmen, daß Mädchen- und Jungen-Geburten gleich wahrscheinlich sind, dann kann man nur auf 2/3 kommen. Wieso auf einmal von irgendwelchen Am-Fenster-steh-Wahrscheinlichkeiten fabuliert wird, kann ich immer noch nicht nachvollziehen.

[Neescher]

Lies dir noch mal den Beitrag von scrontch durch, und den von mir auf der letzten Seite (mit dem Quellcode/Ausgabe).

In der Aufgabe ist es nicht eindeutig definiert, es kann also 1/2 oder 2/3 rauskommen.

Neescher

[Daniel E.]

Habe ich gelesen. Ich halte die Interpretation der Aufgabe derart, daß 1/2 rauskommt, für Wortverdreherei und Rabulistik. Warum, habe ich hier mehrfach erklärt: "Man sieht einen Jungen am Fenster" ist eine blumige Formulierung für "Es gibt einen Jungen" und nicht für "In 50% der Fälle steht da ein Mädchen". Ersteres läßt sich rein logisch schliessen, zweiteres ist ganz offensichtlich herdiskutiert.

Was man mit einem Computerprogramm will, ist mir auch ehrlich gesagt absolut unklar. Stochastische Modelle sind immer nur so gut, wie man eben modelliert und wenn ich eine bestimmte Interpretation modelliere, dann kommt eben auch das erwartete Ergebnis raus. Die Mathematik ist aber hier so einfach, daß man da kein Programm für braucht.

[TGGC|_work]

Na dann nur noch eine Frage: Man wirft 2 Münzen, eine davon verdeckt. Die andere zeigt Zahl. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zeigt die andere (noch verdeckte) Kopf?

Bye, TGGC

[Daniel E.]

TGGC|_work schrieb:

Na dann nur noch eine Frage: Man wirft 2 Münzen, eine davon verdeckt.

Nein.

[TGGC|_work]

Ok, ich sehe es ein, ihr versteht es wirklich nicht. Dann glaubt halt einfach den Intelligenten, die Euch die Wahrheit sagen, oder bleibt dumm.

Bye, TGGC

[Neescher]

Daniel E. schrieb:

TGGC|_work schrieb:

Na dann nur noch eine Frage: Man wirft 2 Münzen, eine davon verdeckt.

Nein.

Warum "Nein"?

Neescher

[Neescher]

Daniel E. schrieb:

Was man mit einem Computerprogramm will, ist mir auch ehrlich gesagt absolut unklar. Stochastische Modelle sind immer nur so gut, wie man eben modelliert und wenn ich eine bestimmte Interpretation modelliere, dann kommt eben auch das erwartete Ergebnis raus. Die Mathematik ist aber hier so einfach, daß man da kein Programm für braucht.

Ok. Dann mach folgendes: Jedes mal, wenn du ab jetzt durch ein Fenster einen Jungen siehst, frage ihn, ob er genau 1 Geschwister (gibts da ne Einzahl? :)) hat. Wenn ja, frage ihn nach dem Geschlecht. Du wirst auf 50% m/w kommen. Da ist kein Computerprogramm modelliert, keine falsche Interpretation. Genau so ist die Aufgabe.

Neescher

[Daniel E.]

Neescher schrieb:

Daniel E. schrieb:

TGGC|_work schrieb:

Na dann nur noch eine Frage: Man wirft 2 Münzen, eine davon verdeckt.

Nein.

Warum "Nein"?

Das ist offensichtlich ein anderes Zufallsexperiment, als die Aufgabe es beschreibt. Dort werden, wenn man unbedingt mit Münzen operieren will, bei der Geburt zwei Münzen geworfen (verdeckt), wenn mindestens ein Kopf dabei ist, dann zeigt man dir diese Münze.

Dann mach folgendes: Jedes mal, wenn du ab jetzt durch ein Fenster einen Jungen siehst, frage ihn, ob er genau 1 Geschwister (gibts da ne Einzahl? :)) hat. Wenn ja, frage ihn nach dem Geschlecht. Du wirst auf 50% m/w kommen.

Kaum.

[TGGC|_work]

Daniel E. schrieb:

Neescher schrieb:

Daniel E. schrieb:

TGGC|_work schrieb:

Na dann nur noch eine Frage: Man wirft 2 Münzen, eine davon verdeckt.

Nein.

Warum "Nein"?

Das ist offensichtlich ein anderes Zufallsexperiment, als die Aufgabe es beschreibt. Dort werden, wenn man unbedingt mit Münzen operieren will, bei der Geburt zwei Münzen geworfen (verdeckt), wenn mindestens ein Kopf dabei ist, dann zeigt man dir diese Münze.

Falsch. Lies die Aufgabe.

Daniel E. schrieb:

Dann mach folgendes: Jedes mal, wenn du ab jetzt durch ein Fenster einen Jungen siehst, frage ihn, ob er genau 1 Geschwister (gibts da ne Einzahl? :)) hat. Wenn ja, frage ihn nach dem Geschlecht. Du wirst auf 50% m/w kommen.

Kaum.

Doch, mit Sicherheit.

Bye, TGGC

[Neescher]

Daniel E. schrieb:

Neescher schrieb:

Daniel E. schrieb:

TGGC|_work schrieb:

Na dann nur noch eine Frage: Man wirft 2 Münzen, eine davon verdeckt.

Nein.

Warum "Nein"?

Das ist offensichtlich ein anderes Zufallsexperiment, als die Aufgabe es beschreibt. Dort werden, wenn man unbedingt mit Münzen operieren will, bei der Geburt zwei Münzen geworfen (verdeckt), wenn mindestens ein Kopf dabei ist, dann zeigt man dir diese Münze.

Das was du hier schreibst, ist ein anderes Experiment. Wo steht im Aufgabentext etwas von "mindestens ein Junge"?

Wo ist der unterschied zwischen: "Man wirft 2 Muenzen, eine davon verdeckt. Die andere zeigt Zahl" und "Es werden 2 Kinder geboren. Von einem der Kinder kennst du das Geschlecht nicht. Der andere ist ein Junge"? In meinen Augen das selbe (Wenn man von einer idealen Muenze und einer m/w-Verteilung von 50/50 ausgeht)

Daniel E. schrieb:

Dann mach folgendes: Jedes mal, wenn du ab jetzt durch ein Fenster einen Jungen siehst, frage ihn, ob er genau 1 Geschwister (gibts da ne Einzahl? :)) hat. Wenn ja, frage ihn nach dem Geschlecht. Du wirst auf 50% m/w kommen.

Kaum.

Versuche es

Neescher

[Daniel E.]

TGGC|_work schrieb:

Daniel E. schrieb:

Neescher schrieb:

Daniel E. schrieb:

TGGC|_work schrieb:

Na dann nur noch eine Frage: Man wirft 2 Münzen, eine davon verdeckt.

Nein.

Warum "Nein"?

Das ist offensichtlich ein anderes Zufallsexperiment, als die Aufgabe es beschreibt. Dort werden, wenn man unbedingt mit Münzen operieren will, bei der Geburt zwei Münzen geworfen (verdeckt), wenn mindestens ein Kopf dabei ist, dann zeigt man dir diese Münze.

Falsch. Lies die Aufgabe.

Wo steht da, daß man immer über das Geschlecht des am Fenster stehenden Kindes informiert würde?

Daniel E. schrieb:

Dann mach folgendes: Jedes mal, wenn du ab jetzt durch ein Fenster einen Jungen siehst, frage ihn, ob er genau 1 Geschwister (gibts da ne Einzahl? :)) hat. Wenn ja, frage ihn nach dem Geschlecht. Du wirst auf 50% m/w kommen.

Kaum.

Doch, mit Sicherheit.

Können wir uns darauf einigen, daß die Fälle JM, MJ, JJ gleich wahrscheinlich sind (wobei, man muß es ja anscheinend erklären, ich hier eine Tupelschreibe benutze und irgendeine Sortierung, sagen wir mal das Geburtsdatum zugrundelege)?

[Daniel E.]

Neescher schrieb:

Das ist offensichtlich ein anderes Zufallsexperiment, als die Aufgabe es beschreibt. Dort werden, wenn man unbedingt mit Münzen operieren will, bei der Geburt zwei Münzen geworfen (verdeckt), wenn mindestens ein Kopf dabei ist, dann zeigt man dir diese Münze.

Das was du hier schreibst, ist ein anderes Experiment. Wo steht im Aufgabentext etwas von "mindestens ein Junge"?

Im Aufgabentext steht: Es gibt einen Jungen, und der steht am Fenster.

Wo ist der unterschied zwischen: "Man wirft 2 Muenzen, eine davon verdeckt. Die andere zeigt Zahl" und "Es werden 2 Kinder geboren. Von einem der Kinder kennst du das Geschlecht nicht. Der andere ist ein Junge"? In meinen Augen das selbe (Wenn man von einer idealen Muenze und einer m/w-Verteilung von 50/50 ausgeht)

Wenn man eine Münze, nennen wir sie M1 verdeckt und eine Münze M2 offen wirft, dann weiß ich hinterher den Wert von M2. Wenn man beide verdeckt wird und dann gesagt bekommt: "eine Münze zeigt Kopf", dann weiß ich noch nicht, ob das M1 oder M2 ist.

Daniel E. schrieb:

Dann mach folgendes: Jedes mal, wenn du ab jetzt durch ein Fenster einen Jungen siehst, frage ihn, ob er genau 1 Geschwister (gibts da ne Einzahl? :)) hat. Wenn ja, frage ihn nach dem Geschlecht. Du wirst auf 50% m/w kommen.

Kaum.

Versuche es

Okay, dann murkse ich halt auch noch ein Computerprogramm hin:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main(void) {
    int n = 100000, gesch[2], j = 0, m = 0;

    while (n > 0) {
        /* bekomme zwei kinder [1=junge, 0=maedchen] */
        gesch[0] = rand()&1, gesch[1] = rand()&1;

        if (gesch[0] || gesch[1]) { /* ist eines davon ein junge? */
            --n;

            if (gesch[0] == 0 || gesch[1] == 0) ++m;/*und eines eine maedchen? */
            else ++j;
        }
    }

    printf("m: %d, j: %d, insg: %d\n", m, j, m+j);
}

[otze]

war meine ausschluss theorie so abwegig?