Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

[finix]

empgodot schrieb:

finix schrieb:

Richtig.
Stellt sich nur die Frage warum man aus "der Junge geht ans Fenster" nicht auf "Es gibt einen Jungen" schließen können sollte.

Schließen kann man schon, aber damit weiterrechnen darf man nur, wenn's äquivalent ist.

Kann's sein dass du hier einige Dinge durcheinander würfelst? Schau mal:

empgodot schrieb:

Aus "x=1" folgt auch "x ist gerade", trotzdem liefern diese Aussagen im gleichverteilten Ereignisraum {0, 1, 2, 3} völlig andere Wahrscheinlichkeiten.

1 ist gerade? Ich ersetze das im folgenden einfach mal mit "ungerade".
Du hast Recht wenn du behauptest dass "x ist 'ungerade'" nicht äquivalent mit "x=1" ist.
Aber wenn du weißt dass "x=1", warum solltest du die Folgerung "x ist 'ungerade'" nicht verwenden dürfen?

empgodot schrieb:

finix schrieb:

Richtig.
edit: zu deinem "linkes Kind geht ans Fenster": du weißt ganz einfach nicht welches Kind am Fenster steht.

Stimmt. Es kann sowohl
$A_1 = \{(J,M), (J,J)\}$.
als auch
$A_2 = \{(M,J), (J,J)\}$.
sein (beides gleichwahrscheinlich).
$P(A\_1 \cup A\_2)$ liefert
0.5\*P(A\_1) + 0.5\*P(A\_2) = 0.5.

Das ist so ähnlich wie meine Wette mit TGGC.

[Black Shadow__]

WIe wäre dieser Denkansatz:
wir wissen, die familie hat 2 kinder.
wir wissen, eines davon ist ein junge.
ergo: es gibt ein kind, dessen geshclecht unbekannt ist.
warum nun nicht einfach die gesamte aufgabenstellung auf dieses unbekannte kind reduzieren?
=>
die familie hat 1 kind, dessen geschlecht unbekannt ist.
Geht man davon aus, dass es gleich viele Jungs und mädels gibt, ist p 50%
Ich dneke man darf die Aufgabe auf das eine Kind reduzieren, da die Kinder völlig unabhängig voneinander geboren wurden. Ob nun ein Kind männlich oder weiblich ist - für das andere ist das doch vollkommen wurst.

[Black Shadow__]

Oder:
Ob es ein Junge oder mädchen wird, weiß nur gott und p ist hier 50%. Vergleichen wir das mit dem Wurf einer idealen Münze.
Wir werfen nun 2 Münzen.
für jeden wurf ist die Wahrscheinlichkeit, dass man "Kopf" erhält, 50%. Kopf sei hier "Junge".
Egal wie oft ich einen Münzwurf mache, p ist immer 0.5. Ich werfe nun 2x. Schaue das eine mal hin: siehe da, es ist Kopf. (bzw der Junge, den sehen wir ja durchs fenster). Und beim besten willen: Warum soll p(Junge) der anderen Müze nicht auch 0.5 sein? die sind doch völlig unabhängig voneinander.

[TGGC]

finix schrieb:

Aber wenn du weißt dass "x=1", warum solltest du die Folgerung "x ist 'ungerade'" nicht verwenden dürfen?

Verwenden kannst du das schon, aber du verlierst Informationen. Daher kommst du zu einem falschen Ergebnis.

@Black Shadow: So könnte man das sehen.

[finix]

Black Shadow__ schrieb:

Egal wie oft ich einen Münzwurf mache, p ist immer 0.5. Ich werfe nun 2x. Schaue das eine mal hin: siehe da, es ist Kopf. (bzw der Junge, den sehen wir ja durchs fenster). Und beim besten willen: Warum soll p(Junge) der anderen Müze nicht auch 0.5 sein? die sind doch völlig unabhängig voneinander.

Gut zusammengefasst. Und jetzt rechne aus wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist zuerst einen Jungen zu werfen und danach ein Mädchen.

[TGGC]

dooya schrieb:

Der Rest der Herleitung sollte allerdings korrekt sein.

Ja, aber eine ganz andere als die 2/3 Rechnung. Ergo die 2/3 Rechnung ist falsch.

"g steht am Fenster"
$A = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{g\} \vee y = \{g\} \right\}$

Offensichtlich ist
$A = \{\{f,g\}, \{g,f\}, \{g,g\}\}$ mit

$P(A | \Omega) = P(A) = .75$

"mindestens ein Kind hat Geschlecht f"

$B = \left\{\{x,y\} \in \Omega \,|\, x = \{f\} \vee y = \{f\} \right\}$

$B = \{\{f,f\}, \{f,g\}, \{g,f\}\}$ mit

$P(B|\Omega) = P(B) = .75$

Naja sieht man schon, das da nix sinnvolles rauskommt... IMHO wird die Menge A falsch betrachtet.

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

finix schrieb:

Aber wenn du weißt dass "x=1", warum solltest du die Folgerung "x ist 'ungerade'" nicht verwenden dürfen?

Verwenden kannst du das schon, aber du verlierst Informationen. Daher kommst du zu einem falschen Ergebnis.

LOFL! Du verlierst informationen? Was verlierst du?
Man darf aus "x ist 'ungerade'" nicht schließen dass "x=1",
aber durch "x=1" ist zweifelsfrei zu schließen "x ist 'ungerade'".

[TGGC]

Aus den Aussagen:
x = 1
y + x = 10
folgt y= 9

Aus den Aussagen:
x ist ungerade
y + x = 10
folgt das nicht.

Es ist Information verloren gegangen.

Bye, TGGC

[TGGC]

TGGC schrieb:

Wenn ein Kind mit Geschlecht x ( x element {M,J} ) an das Fenster tritt, dann gilt: die Wahrscheinlichkeit für x != y mit y = Geschlecht des anderen Kindes ist 0,5.

Wartet mal, das kann doch eigentlich nicht stimmen!

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

Aus den Aussagen:
x = 1
y + x = 10
folgt y= 9

Aus den Aussagen:
x ist ungerade
y + x = 10
folgt das nicht.

Das habe ich nie behauptet. Ihr hingegen behauptet dass man "x ist ungerade" nicht verwenden darf falls "x=1" bekannt ist.

[TGGC]

finix schrieb:

TGGC schrieb:

Aus den Aussagen:
x = 1
y + x = 10
folgt y= 9

Aus den Aussagen:
x ist ungerade
y + x = 10
folgt das nicht.

Das habe ich nie behauptet. Ihr hingegen behauptet dass man "x ist ungerade" nicht verwenden darf falls "x=1" bekannt ist.

Siehst ja, das man für y so plötzlich eine andere Lösung bekommt. Es ist doch allgemein bekannt, das man nur äquivalent Umformen darf, weil sonst das Ergebnis falsch werden kann.

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

TGGC schrieb:

Wenn ein Kind mit Geschlecht x ( x element {M,J} ) an das Fenster tritt, dann gilt: die Wahrscheinlichkeit für x != y mit y = Geschlecht des anderen Kindes ist 0,5.

Wartet mal, das kann doch eigentlich nicht stimmen!

Genau, ist immer noch 2/3.
Für deine Rechnung von oben doch einfach fort.
$P(\exists f) = 3/4$ hast du ja schon ausgerechnet, fehlt nur noch $P(\exists g) = 3/4$ und $P(\exists f | \exists g) = 2/3$.

[finix]

TGGC schrieb:

finix schrieb:

TGGC schrieb:

Aus den Aussagen:
x = 1
y + x = 10
folgt y= 9

Aus den Aussagen:
x ist ungerade
y + x = 10
folgt das nicht.

Das habe ich nie behauptet. Ihr hingegen behauptet dass man "x ist ungerade" nicht verwenden darf falls "x=1" bekannt ist.

Siehst ja, das man für y so plötzlich eine andere Lösung bekommt. Es ist doch allgemein bekannt, das man nur äquivalent Umformen darf, weil sonst das Ergebnis falsch werden kann.

Es geht hier um keine Äquivalenzumformung. (Vor allem formst du nichts um, du kannst einfach den Wahrheitsgehalt einer weiteren Aussage feststellen.)
Darüber hinaus habe ich nie behauptet das die beiden Aussagen äquivalent sind, im Gegenteil.
Aber erklär mir doch endlich warum man die Frage "ist x gerade?" nicht unter zuhilfenahme von "x=1" beantworden darf?

[TGGC]

Bitte was? Ich habe kein Rechnung gemacht, sondern nur die falsche Rechnung umgeschrieben, so das man es besser sieht.

Bye, TGGC

[TGGC]

finix schrieb:

Es geht hier um keine Äquivalenzumformung. (Vor allem formst du nichts um, du kannst einfach den Wahrheitsgehalt einer weiteren Aussage feststellen.)
Darüber hinaus habe ich nie behauptet das die beiden Aussagen äquivalent sind, im Gegenteil.
Aber erklär mir doch endlich warum man die Frage "ist x gerade?" nicht unter zuhilfenahme von "x=1" beantworden darf?

Na dann wird Euere Ergebnis natürlich nicht äquivalent zur Aufgabe sein.

Die Frage "ist x gerade?" kann man natürlich so beantworten, da die Frage für alle ungeraden x gleich beantwortet wird. Aber was ist mit der Frage "Ist x = 3?".

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

Bitte was? Ich habe kein Rechnung gemacht, sondern nur die falsche Rechnung umgeschrieben, so das man es besser sieht.

Zweifelst du die Richtigkeit deiner Rechnung für P("mindestens ein Kind hat Geschlecht f") = 3/4 an?

[Black Shadow__]

[quote="finix"]

Black Shadow__ schrieb:

Gut zusammengefasst. Und jetzt rechne aus wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist zuerst einen Jungen zu werfen und danach ein Mädchen.

es geht hier nicht um die wahrscheinlichkeit von junge -> mädchen sondern um die wahrscheinlichkeit junge bzw wahrscheinlichkeit mädchen. und wie du aus dem münzversuch entnehmenkannst - das resultat ist völlig unabhängig vom wurf mit der anderen münze. genauso wie der wurf selbst völlig unabhängig vom anderen ausgeführt wird.

[finix]

Black Shadow__ schrieb:

finix schrieb:

Gut zusammengefasst. Und jetzt rechne aus wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist zuerst einen Jungen zu werfen und danach ein Mädchen.

es geht hier nicht um die wahrscheinlichkeit von junge -> mädchen sondern um die wahrscheinlichkeit junge bzw wahrscheinlichkeit mädchen. und wie du aus dem münzversuch entnehmenkannst - das resultat ist völlig unabhängig vom wurf mit der anderen münze. genauso wie der wurf selbst völlig unabhängig vom anderen ausgeführt wird.

Vielleicht solltest du dir einfach das Rätsel noch mal in aller Ruhe durchlesen. Du fragst nicht die erste Münze ob sie eine Schwester hat, sondern es stellt sich zufällig heraus dass eine der beiden ein Junge ist. Ich hätte meinen Tipp wohl doch eher gaaaaanz langsam und deutlich schreiben sollen.

[scrontch]

*stöhn*
Könnte hier nicht vielleicht endlich mal einer der Kontrahenten die Nazis oder Hitler ins Spiel bringen?

[TGGC]

Ich habe da noch einen weiteren fatalen Fehler in deiner Rechnung endeckt!

dooya schrieb:

$P(B | A) = \frac{A \cap B}{P(A)}$

Müsste eigentlich heissen:
$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Das über dem Bruchstrich bezeichnet die Wahrscheinlichkeit das A und B eintreten, also hier konkret: Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht ein Junge am Fenster und existiert ein Mädchen. Und um das auszurechenen brauchst du erstmal das Ergebnis der Aufgabe! Daher kannst du das nicht so machen! Oder du rechnest das durch auszählen, es gibt diese Möglichkeiten:
{M,M, Kind 1 am Fenster }
{M,M, Kind 2 am Fenster }
{J,M, Kind 1 am Fenster }
{J,M, Kind 2 am Fenster } => hier!
{M,J, Kind 1 am Fenster }
{M,J, Kind 2 am Fenster } => hier!
{J,J, Kind 1 am Fenster }
{J,J, Kind 2 am Fenster }

Macht 2/8 und nicht wie du sagst 1/2

Bye, TGGC