Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

[Jester]

Hab ihr inzwischen eigentlich schon bemerkt, daß man beide Lösungen vertreten kann?

Sorry, hab grad keine Lust den ganzen Kram durchzulesen. Daher bitte ich hier um ne kleine Zusammenfassung.

[finix]

TGGC schrieb:

Ich habe da noch einen weiteren fatalen Fehler in deiner Rechnung endeckt!

dooya schrieb:

$P(B | A) = \frac{A \cap B}{P(A)}$

Müsste eigentlich heissen:
$P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Das über dem Bruchstrich bezeichnet die Wahrscheinlichkeit das A und B eintreten, also hier konkret: Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht ein Junge am Fenster und existiert ein Mädchen. Und um das auszurechenen brauchst du erstmal das Ergebnis der Aufgabe! Daher kannst du das nicht so machen! Oder du rechnest das durch auszählen, es gibt diese Möglichkeiten:
{M,M, Kind 1 am Fenster }
{M,M, Kind 2 am Fenster }
{J,M, Kind 1 am Fenster }
{J,M, Kind 2 am Fenster } => hier!
{M,J, Kind 1 am Fenster }
{M,J, Kind 2 am Fenster } => hier!
{J,J, Kind 1 am Fenster }
{J,J, Kind 2 am Fenster }

Macht 2/8 und nicht wie du sagst 1/2

Bye, TGGC

LOFL

[TGGC]

Ok, jetzt meine Rechnung zum richtigen Ergebnis.

P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Mädchen" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" ) = 1 - P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" )

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge"? Also A= "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" und B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge", gesucht wird P(A|B).

P( "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" )= P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B )

Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.

Die Wahrscheinlichkeit das "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" und "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" ist auch recht einfach zu erkennen! Es gibt die bekannten 4 Fälle MM, JM, MJ und JJ und beide Bedingungen können nur bei JJ gelten. Also P( A geschnitten = 1 / 4 = 0.25

Damit ergibt sich:

P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge )= P(A|B) = 0.25 / 0.5
P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge )= P(A|B) = 0.5

und

P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Mädchen ) = 1 - 0.5
P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Mädchen ) = 0.5

q.e.d.

Bye, TGGC

//edit kleiner Formulierungsfehler
//jetzt aber

[TGGC]

Jester schrieb:

Hab ihr inzwischen eigentlich schon bemerkt, daß man beide Lösungen vertreten kann?

Ja hab ich. Man trifft ja hier viele, welche die falsche Lösung vertreten.

Bye, TGGC

[Gast]

finix schrieb:

LOFL

Hast du dir auf die Zunge gebissen?

[finix]

Optimizer schrieb:

finix schrieb:

LOFL

Hast du dir auf die Zunge gebissen?

Ja.

@TGGC dir ist klar dass du gerade ausgerechnet hast wie wahrscheinlich es ist dass die Nachbarn einen Jungen und ein Mädchen haben, ohne die Information dass ein Junge am Fenster steht in irgendeiner Weise mit in dein Ergebnis hast einfließen lassen?
Ach ja, stimmt, von "es steht ein Junge am Fenster" auf "die Nachbarn haben nicht zwei Mädchen" zu schließen wäre ja keine Äquivalenzumformung.

p.s. es heißt immer noch P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B ), nicht P(A|B)= P( A und B ) / P( B )

[dooya]

TGGC schrieb:

dooya schrieb:

Der Rest der Herleitung sollte allerdings korrekt sein.

Ja, aber eine ganz andere als die 2/3 Rechnung. Ergo die 2/3 Rechnung ist falsch.[...]

Nein, wie bereits schonmal gesagt ist die "2/3 Rechnung" korrekt, allenfalls kannst du ihre Angemessenheit bzgl. der Aufgabenstellung bezweifeln. Selbige halte ich jedoch auch für zweifelsfrei.

[Gast]

finix schrieb:

Ach ja, stimmt, von "es steht ein Junge am Fenster" auf "die Nachbarn haben nicht zwei Mädchen" zu schließen wäre ja keine Äquivalenzumformung.

Wie kann >>> schließen <<< denn eine >>> Äquivalenzumformung <<< sein? Beschäftige dich doch am besten mal mit der Aussagenlogik. Schließen ist niemals eine Äquivalenz, sondern eine Folgerung. Wenn ich aus A -> B schließen kann, sind A und B keineswegs notwendigerweise äquivalent.

ohne die Information dass ein Junge am Fenster steht in irgendeiner Weise mit in dein Ergebnis hast einfließen lassen?

Das stimmt nicht, P(ww) ist bei ihm wie auch bei mir == 0. Du kannst dir auch gerne meine Rechung ein paar viele Seiten weiter vorne angucken, da steht explizit sogar der Wert 0 dafür drin.

[TGGC]

finix schrieb:

@TGGC dir ist klar dass du gerade ausgerechnet hast wie wahrscheinlich es ist dass die Nachbarn einen Jungen und ein Mädchen haben, ohne die Information dass ein Junge am Fenster steht in irgendeiner Weise mit in dein Ergebnis hast einfließen lassen?

Natürlich habe ich es einfliessen lassen, ich habe doch die bedingte Wahrscheinlichkeit "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" berechnet. Also habe ich das als Bedingung benutzt. Du musst nur mal Lesen.

finix schrieb:

p.s. es heißt immer noch P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B ), nicht P(A|B)= P( A und B ) / P( B )

Ja sorry, mein Fehler. Habe mich davon leiten lassen, das die Schnittmenge von A und B das ist, wie die Elemente von A und die Elmente von B drin sind. Kenn mich leider mit dem Latex nicht so aus.

Bye, TGGC

[finix]

Jester schrieb:

Hab ihr inzwischen eigentlich schon bemerkt, daß man beide Lösungen vertreten kann?

Sorry, hab grad keine Lust den ganzen Kram durchzulesen. Daher bitte ich hier um ne kleine Zusammenfassung.

Die Lösung:

Die Nachbarn haben 2 Kinder. Die vier möglichen Varianten der Geschlechterverteilung sind wie folgt, wobei alle Variationen gleich wahrscheinlich sind:

$JJ$ mit $P(JJ) = 1/4$
$JM$ mit $P(JJ) = 1/4$
$MJ$ mit $P(JJ) = 1/4$
$MM$ mit $P(JJ) = 1/4$

Jetzt zeigt sich am Fenster ein Junge; wir können nicht wissen ob es das ältere oder jüngere Kind ist. Die Frage stellt sich (laut Rätsel) mit welcher Wahrscheinlichkeit das andere Kind nun ein Mädchen ist:

$A :=$ Die Nachbarn haben ein Mädchen
$P(A) = ?$

Aber das ist noch nicht ganz richtig, denn wir wissen ja das die Nachbarn einen Jungen haben, also ist im Endeffekt folgendes gesucht:

$B :=$ Die Nachbarn haben einen Jungen
$P(A|B) = ?$

D.h., die Wahrscheinlichkeit dass die Nachbarn ein Mädchen haben für den Fall dass sie einen Jungen haben.

Anhand obiger Tabelle lässt sich zuerst einmal die Wahrscheinlichkeit ermitteln dass sie überhaupt einen Jungen haben, und wir bekommen

$P(B) = 3/4$

(in 3 der 4 gleich wahrscheinlichen Variationen ist ein Junge)

Die Wahrscheinlichkeit das sie sowohl ein Mädchen als auch einen Jungen haben lässt sich ebenso leicht ablesen:

$P(A \cap$ = 1/2

(in 2 der 4 gleich wahrscheinlichen Variationen ist sowohl ein Junge als auch ein Mädchen vertreten)

Damit ergibt sich

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$

Da wir wissen dass genau dieser Fall B eingetreten ist beträgt die Wahrscheinlichkeit dass Die Nachbarn ein Mädchen haben 2/3.

edit: das fehlende P

[dooya]

TGGC schrieb:

[...] A= "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" [...]

P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge )= P(A|B) [...]

Naja, das sieht mir nach mehr als einem kleinen Formulierungsfehler aus.

Das eigentliche Problem deiner Herleitung ist in meinen Augen jedoch, dass dein Ereignis B nicht korrekt quantifiziert ist.

[dooya]

TGGC schrieb:

[...]

finix schrieb:

p.s. es heißt immer noch P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B ), nicht P(A|B)= P( A und B ) / P( B )

Ja sorry, mein Fehler. Habe mich davon leiten lassen, das die Schnittmenge von A und B das ist, wie die Elemente von A und die Elmente von B drin sind. Kenn mich leider mit dem Latex nicht so aus.
Bye, TGGC

Das hat mit LaTeX nichts zu tun, denn dies ist nur der Name für den Schriftsatz der Symbole. Die Symbole selbst nennt man mathematische (?) Notation.

[dooya]

finix schrieb:

Jester schrieb:

Hab ihr inzwischen eigentlich schon bemerkt, daß man beide Lösungen vertreten kann?

Sorry, hab grad keine Lust den ganzen Kram durchzulesen. Daher bitte ich hier um ne kleine Zusammenfassung.

Die Lösung:

Die Nachbarn haben 2 Kinder. Die vier möglichen Varianten der Geschlechterverteilung sind wie folgt, wobei alle Variationen gleich wahrscheinlich sind:

$JJ$ mit $P(JJ) = 1/4$
$JM$ mit $P(JJ) = 1/4$
$MJ$ mit $P(JJ) = 1/4$
$MM$ mit $P(JJ) = 1/4$

Jetzt zeigt sich am Fenster ein Junge; wir können nicht wissen ob es das ältere oder jüngere Kind ist. Die Frage stellt sich (laut Rätsel) mit welcher Wahrscheinlichkeit das andere Kind nun ein Mädchen ist:

$A :=$ Die Nachbarn haben ein Mädchen
$P(A) = ?$

Aber das ist noch nicht ganz richtig, denn wir wissen ja das die Nachbarn einen Jungen haben, also ist im Endeffekt folgendes gesucht:

$B :=$ Die Nachbarn haben einen Jungen
$P(A|B) = ?$

D.h., die Wahrscheinlichkeit dass die Nachbarn ein Mädchen haben für den Fall dass sie einen Jungen haben.

Anhand obiger Tabelle lässt sich zuerst einmal die Wahrscheinlichkeit ermitteln dass sie überhaupt einen Jungen haben, und wir bekommen

$P(B) = 3/4$

(in 3 der 4 gleich wahrscheinlichen Variationen ist ein Junge)

Die Wahrscheinlichkeit das sie sowohl ein Mädchen als auch einen Jungen haben lässt sich ebenso leicht ablesen:

$P(A \cap$ = 1/2

(in 2 der 4 gleich wahrscheinlichen Variationen ist sowohl ein Junge als auch ein Mädchen vertreten)

Damit ergibt sich

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{B} = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}$

Da wir wissen dass genau dieser Fall B eingetreten ist beträgt die Wahrscheinlichkeit dass Die Nachbarn ein Mädchen haben 2/3.

Ein P unter dem Bruchstrich vergessen, sonst aber korrekt und auch sehr gut erklärt.

[finix]

Optimizer schrieb:

finix schrieb:

Ach ja, stimmt, von "es steht ein Junge am Fenster" auf "die Nachbarn haben nicht zwei Mädchen" zu schließen wäre ja keine Äquivalenzumformung.

Wie kann >>> schließen <<< denn eine >>> Äquivalenzumformung <<< sein? Beschäftige dich doch am besten mal mit der Aussagenlogik. Schließen ist niemals eine Äquivalenz, sondern eine Folgerung. Wenn ich aus A -> B schließen kann, sind A und B keineswegs notwendigerweise äquivalent.

Ich stimme vollkommen mit dir überein, Optimizer, es ist keine Äquivalenzumformung. Dennoch kann und muss ich meine Folgerung verwenden. TGGC behauptet ich darf das nicht. Du auch?

Optimizer schrieb:

ohne die Information dass ein Junge am Fenster steht in irgendeiner Weise mit in dein Ergebnis hast einfließen lassen?

Das stimmt nicht, P(ww) ist bei ihm wie auch bei mir == 0. Du kannst dir auch gerne meine Rechung ein paar viele Seiten weiter vorne angucken, da steht explizit sogar der Wert 0 dafür drin.

Diese Aussage bezog sich nicht auf dich sondern TGGC.
Warst du nicht derjenige der die Informationsgewinnung erst ins Spiel gebracht hat? Wie schaut's mit der Plausibilität aus?
Blätter ein paar Seiten zurück... nimmst du vielleicht meine wette an dass du der wiedergeborene Jesus Christus bist? Die Wahrscheinlichkeit steht ja nicht schlecht, gibt ja nur zwei Möglichkeiten, also eine 50/50 Chance...

TGGC schrieb:

finix schrieb:

@TGGC dir ist klar dass du gerade ausgerechnet hast wie wahrscheinlich es ist dass die Nachbarn einen Jungen und ein Mädchen haben, ohne die Information dass ein Junge am Fenster steht in irgendeiner Weise mit in dein Ergebnis hast einfließen lassen?

Natürlich habe ich es einfliessen lassen, ich habe doch die bedingte Wahrscheinlichkeit "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" berechnet. Also habe ich das als Bedingung benutzt. Du musst nur mal Lesen.

Dann rechne mal bitte die Wahrscheinlichkeit aus dass die Nachbarn einen Jungen und ein Mädchen haben, ohne die Information "ein Junge steht am Fenster" zu verwenden...

TGGC schrieb:

finix schrieb:

p.s. es heißt immer noch P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B ), nicht P(A|B)= P( A und B ) / P( B )

Ja sorry, mein Fehler. Habe mich davon leiten lassen, das die Schnittmenge von A und B das ist, wie die Elemente von A und die Elmente von B drin sind. Kenn mich leider mit dem Latex nicht so aus.

Ich auch nicht wirklich, deshalb habe ich ja "geschnitten" statt "und" getippt, ohne Latex.
Aber für Notfälle habe ich auch mein kleines, schlaues O'Reilly-Büchlein, sehr empfehlenswert

[TGGC]

dooya schrieb:

TGGC schrieb:

[...] A= "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" [...]

P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge )= P(A|B) [...]

Naja, das sieht mir nach mehr als einem kleinen Formulierungsfehler aus.

Das eigentliche Problem deiner Herleitung ist in meinen Augen jedoch, dass dein Ereignis B nicht korrekt quantifiziert ist.

Das habe ich nicht verändert, sondern "und" in "geschnitten".

dooya schrieb:

TGGC schrieb:

[...]

finix schrieb:

p.s. es heißt immer noch P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B ), nicht P(A|B)= P( A und B ) / P( B )

Ja sorry, mein Fehler. Habe mich davon leiten lassen, das die Schnittmenge von A und B das ist, wie die Elemente von A und die Elmente von B drin sind. Kenn mich leider mit dem Latex nicht so aus.
Bye, TGGC

Das hat mit LaTeX nichts zu tun, denn dies ist nur der Name für den Schriftsatz der Symbole. Die Symbole selbst nennt man mathematische (?) Notation.

Ich wusste die Bedeutung von dem umgedrehten u, aber nicht das man es als "geschnitten" ausspricht. Da ich das Symbol nicht machen konnte, musste ich es irgendwie aussprechen.

Bye, TGGC

[TGGC]

finix schrieb:

$B :=$ Die Nachbarn haben einen Jungen

B ist nicht die Nachbarn haben einen Jungen, sondern "Ein Junge steht am Fenster". Damit ist sowohl dein P(B) als auch dein P ( A geschnitten B ) falsch.

Bye, TGGC

[finix]

TGGC schrieb:

dooya schrieb:

TGGC schrieb:

[...]

finix schrieb:

p.s. es heißt immer noch P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B ), nicht P(A|B)= P( A und B ) / P( B )

Ja sorry, mein Fehler. Habe mich davon leiten lassen, das die Schnittmenge von A und B das ist, wie die Elemente von A und die Elmente von B drin sind. Kenn mich leider mit dem Latex nicht so aus.
Bye, TGGC

Das hat mit LaTeX nichts zu tun, denn dies ist nur der Name für den Schriftsatz der Symbole. Die Symbole selbst nennt man mathematische (?) Notation.

Ich wusste die Bedeutung von dem umgedrehten u, aber nicht das man es als "geschnitten" ausspricht. Da ich das Symbol nicht machen konnte, musste ich es irgendwie aussprechen.

Ich dachte du hast Informatik studiert? Hast du damals den Auffrischungskurs für Erstis verpasst und auch danach nichts mehr mit Mengenlehre zu tun gehabt? :p scnr

TGGC schrieb:

finix schrieb:

B := Die Nachbarn haben einen Jungen

B ist nicht die Nachbarn haben einen Jungen, sondern "Ein Junge steht am Fenster". Damit ist sowohl dein P(B) als auch dein P ( A geschnitten B ) falsch.

Wollen wir einen Poll aufmachen? "Darf man annehmen das x ungerade ist falls x=1 bekannt ist?"

[dooya]

TGGC schrieb:

dooya schrieb:

TGGC schrieb:

[...] A= "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" [...]

P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge )= P(A|B) [...]

Naja, das sieht mir nach mehr als einem kleinen Formulierungsfehler aus.

Das eigentliche Problem deiner Herleitung ist in meinen Augen jedoch, dass dein Ereignis B nicht korrekt quantifiziert ist.

Das habe ich nicht verändert, sondern "und" in "geschnitten".[...]

Das ist mir schon klar. Meine Forumulierung war ein ironischer Bezug auf deine "Edit"-Begründung, der eigentliche Grund für meinen Beitrag war die folgende Formulierung von dir:

TGGC schrieb:

[...] A= "Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge" [...]

P( Kind, das nicht am Fenster ist, ist ein Junge )= P(A|B) [...]

Im Klartext steht dort P(A) = P(A|B). War doch sicher nicht so gemeint oder?

[TGGC]

finix schrieb:

Dann rechne mal bitte die Wahrscheinlichkeit aus dass die Nachbarn einen Jungen und ein Mädchen haben

Ok.

P(M1)= 0.5 und P(J1)= 0.5 bei der ersten Geburt.
P(M2)= 0.5 und P(J2)= 0.5 bei der zweiten Geburt.

Da beiden Geburten unabhängig
P(M1 geschnitten J2)= 0.5 * 0.5 = 0.25
P(J1 geschnitten M2)= 0.5 * 0.5 = 0.25

Da sich beides auschliesst:
P( (M1 geschnitten J2) vereinigt (J1 geschnitten M2)) = 0.25 + 0.25 = 0.5

Bye, TGGC

[Gast]

finix schrieb:

Optimizer schrieb:

finix schrieb:

Ach ja, stimmt, von "es steht ein Junge am Fenster" auf "die Nachbarn haben nicht zwei Mädchen" zu schließen wäre ja keine Äquivalenzumformung.

Wie kann >>> schließen <<< denn eine >>> Äquivalenzumformung <<< sein? Beschäftige dich doch am besten mal mit der Aussagenlogik. Schließen ist niemals eine Äquivalenz, sondern eine Folgerung. Wenn ich aus A -> B schließen kann, sind A und B keineswegs notwendigerweise äquivalent.

Ich stimme vollkommen mit dir überein, Optimizer, es ist keine Äquivalenzumformung. Dennoch kann und muss ich meine Folgerung verwenden. TGGC behauptet ich darf das nicht. Du auch?

Es ist ne Frage, wie man sie verwendet. TGGC hat da schon recht. Es ist nicht das selbe, ob eine Familie sicher nicht zwei Mädchen hat, oder ob sie nur in Abhängigkeit von einer 50%igen Wahrscheinlichkeit nicht zwei Mädchen hat. (Ok, eigentlich anders rum, erst die Geburten, dann das Fenster )

Optimizer schrieb:

ohne die Information dass ein Junge am Fenster steht in irgendeiner Weise mit in dein Ergebnis hast einfließen lassen?

Das stimmt nicht, P(ww) ist bei ihm wie auch bei mir == 0. Du kannst dir auch gerne meine Rechung ein paar viele Seiten weiter vorne angucken, da steht explizit sogar der Wert 0 dafür drin.

Diese Aussage bezog sich nicht auf dich sondern TGGC.
Warst du nicht derjenige der die Informationsgewinnung erst ins Spiel gebracht hat? Wie schaut's mit der Plausibilität aus?
Blätter ein paar Seiten zurück... nimmst du vielleicht meine wette an dass du der wiedergeborene Jesus Christus bist? Die Wahrscheinlichkeit steht ja nicht schlecht, gibt ja nur zwei Möglichkeiten, also eine 50/50 Chance...

Die Chance ist wahrscheinlich nicht 50-50. Ich kann dir auch nicht beweisen, dass sie bei dem Fenster-Problem 50-50 ist, oder ob der Junge nicht vielleicht doch stärker ist und sich mit 70% durchsetzt. Das wäre aber schon ein bisschen sexistisch. Die 2/3-Fraktion nimmt jedoch 100% an und das muss man erstmal richtig gut begründen. Und wir wissen ja: Es steht nicht in der Aufgabe, das ist also keine Begründung.

Auch hier gilt wieder "ein Junge steht am Fenster" != "falls es ein Mädchen und einen Jungen gibt, steht immer der Junge am Fenster"