4. Noch mal Mengen

Noch mal Mengen

  • X

    Also, es geht um folgendes:
    Ich habe grade auf Wikipedia etwas ueber das Hilbert-Hotel gelesen:

    http://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Hotel schrieb:

    Mathematisch ausgedrückt wird das so: Die Mächtigkeit der Teilmenge der Zimmer mit ungerader Nummer ist gleich der Mächtigkeit der Menge aller Zimmer. Man kann unendliche Mengen über die Eigenschaft definieren, eine gleichmächtige echte Teilmenge zu haben. Die Mächtigkeit abzählbarer Mengen wird ℵ0\aleph_0 ("aleph 0") genannt.

    Ich dachte aber z.B. immer, dass die Maechtigkeit der reellen Zahlen groesser als die der natuerlichen Zahlen ist.
    Aber aus diesem Text resultiert doch das Problem: Die Maechtigkeit der natuerlichen Zahlen ist unendlich gross. Die Menge der natuerlichen Zahlen ist aber eine echte Teilmenge der reellen Zahlen. Die Maechtigkeit der reellen Zahlen ist auch unendlich gross, aber gibt es deswegen jetzt genausoviele reelle wie natuerliche Zahlen?

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  • ?

    Es gibt schon mehr reelle Zahlen, aber die Mächtigkeit unendlicher Mengen macht man nicht anhand der Anzahl ihrer Elemente fest (geht irgendwie auch nicht). Frag mich aber nicht, wie die nochmal bestimmt wird, das weiß ich nicht mehr. Wenn du in der Wikipedia unter Mächtigkeit nachsiehst, wirst du das sicher finden.

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  • P

    XFame schrieb:

    Also, es geht um folgendes:
    Ich habe grade auf Wikipedia etwas ueber das Hilbert-Hotel gelesen:

    http://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Hotel schrieb:

    Mathematisch ausgedrückt wird das so: Die Mächtigkeit der Teilmenge der Zimmer mit ungerader Nummer ist gleich der Mächtigkeit der Menge aller Zimmer. Man kann unendliche Mengen über die Eigenschaft definieren, eine gleichmächtige echte Teilmenge zu haben. Die Mächtigkeit abzählbarer Mengen wird ℵ0\aleph_0 ("aleph 0") genannt.

    Ich dachte aber z.B. immer, dass die Maechtigkeit der reellen Zahlen groesser als die der natuerlichen Zahlen ist.
    Aber aus diesem Text resultiert doch das Problem: Die Maechtigkeit der natuerlichen Zahlen ist unendlich gross. Die Menge der natuerlichen Zahlen ist aber eine echte Teilmenge der reellen Zahlen. Die Maechtigkeit der reellen Zahlen ist auch unendlich gross, aber gibt es deswegen jetzt genausoviele reelle wie natuerliche Zahlen?

    Das wird von diesem Text nicht impliziert. Der Text definiert nur, wann eine Menge unendlich ist. Verschiedene unendliche Mengen müssen jedoch nicht gleichmächtig sein.

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  • X

    Aber da steht doch "gleichmaechtig". Ich dachte immer die Maechtigkeit gibt die Anzahl der Elemente in der Menge an. Laut der Definition sind also die Mengen der reellen Zahlen und der natuerlichen Zahlen gleichmaechtig.

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  • P

    XFame schrieb:

    Aber da steht doch "gleichmaechtig". Ich dachte immer die Maechtigkeit gibt die Anzahl der Elemente in der Menge an. Laut der Definition sind also die Mengen der reellen Zahlen und der natuerlichen Zahlen gleichmaechtig.

    Dort steht nur, dass eine Menge "unendlich" ist, wenn es eine echte Teilmenge der Menge gibt, die zu ihr gleichmächtig ist.

    Zwei Mengen sind jedoch gleichmächtig zueinander, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt. "Gleichmächtig" wird in dem Zitat nicht definiert.

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  • P

    Die Menge der Natürlichen Zahlen ist abzählbar unendlich, das bedeutet, dass man eine Zählvorschrift erstellen kann, mit der man (in unendlicher Zeit) alle natürlichen Zahlen einmal "erwischt". Wie man leicht feststellen kann, ist jede Menge, zu der es eine Bijektion mit den natürlichen Zahlen gibt, wieder abzählbar. Beispiele dafür sind N x N (also alle Zahlenpaare aus natürlichen Zahlen), die Rationalen Zahlen (alle Brüche), die geraden Zahlen, die Primzahlen usw.
    Die Menge der Reellen Zahlen sind nicht abzählbar. Es gibt einen recht einfach zu verstehenden Beweis, dass schon die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 nicht abzählbar sind:

    Der beweis wird durch Widerspruch geführt. Seien also die zahlen zwischen 0 und 1 abzählbar, dann kann man eine Auflistung hinschreiben: z1, z2, z3, z4...
    Es gilt weiterhin, jede reelle Zahl hat abzählbar unendlich viele Nachkommastellen, wenn man bei rationalen Zahlen unendlich viele Nullen anhängt. Die Zahlen kleiner als 1 werden in der Dezimalen Schreibweise also notiert als
    0,d_1d_2d_3d_4d5....0,d\_1d\_2d\_3d\_4d_5...., wobei d_1 usw die einzelnen Ziffern der Nachkommstellen sind. Wenn wir unsere Aufzählung der reellen Zahlen untereinander hinschreiben, haben wir

    z_1=0,d_11d_21d_31d_41d_51....z\_1 =0,d\_1^1d\_2^1d\_3^1d\_4^1d\_5^1....

    z_2=0,d_12d_22d_32d_42d_52....z\_2 =0,d\_1^2d\_2^2d\_3^2d\_4^2d\_5^2....

    z_3=0,d_13d_23d_33d_43d_53....z\_3 =0,d\_1^3d\_2^3d\_3^3d\_4^3d\_5^3....

    z_4=0,d_14d_24d_34d_44d_54....z\_4 =0,d\_1^4d\_2^4d\_3^4d\_4^4d\_5^4....

    wobei der subindex die stelle angibt, und der superindex den punkt in der Aufzählung.

    Man "baue" sich jetzt eine neue Zahl f derart, dass die erste Nachkommastelle von f gleich der ersten Nachkommstelle von z_1 ist, plus 1, die zweite nachkommstelle von f ist gleich der 2ten Nachkommastelle von z_2 usw.
    Dabei soll aus einer 9 eine 0 werden (ziffer 10 gibts ja nicht)
    also
    f = 0,g\_1g\_2g\_3g\_4g\_5..., \qquad g\_i = \{d_i^i+1 , \mbox{falls} i<9, 0 \mbox{sonst.}\}
    Hauptsache ist auf jeden Fall, dass g_i≠d_iig\_i \neq d\_i^i
    Jetzt ist aber f in dem betrachteten Intervall zwischen 0 und 1, und damit auch in der Aufzählung enthalten. Es gibt also ein n, so dass f = zn. Dann gilt aber g_n=d_nng\_n = d\_n^n im Widerspruch zu unserer Konstruktion von f. Damit ist gezeigt, dass das Intervall [0;0,9999999999999999...] nicht abzählbar ist und die reellen zahlen erst recht nicht.

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  • S

    @pumuckl: Genauer gesagt hast Du jetzt gezeigt, dass es überabzählbar viele _Darstellungen_ von reellen Zahlen im Intervall [0;1) gibt. Wieso folgt daraus, dass es auch überabzählbar viele reelle Zahlen in diesem Intervall gibt?

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  • J

    Das liegt daran, daß jede reelle Zahl höchstens 2 Entwicklungen besitzt. Wären die reellen Zahlen abzählbar, so hättes es auch nur abzählbar viele Entwicklungen gegeben.

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  • L

    @sg1: sobald in dieser darstellung sich 2 zahlen unterscheiden sind sie
    verschieden
    @jester: in welcher hinsicht gibt es 2 verschiedene darstellungen? diese ist
    jedenfalls eindeutig

    man muss aber erwaehnen das der gegenbeweis dass R abzaehbar ist, gerade auf der tatsache beruht dass die darstellung von oben, alle moeglichen folgen beinhaltet.

    sieheauch hier:
    http://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_erster_Überabzählbarkeitsbeweis

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  • S

    Jester schrieb:

    Das liegt daran, daß jede reelle Zahl höchstens 2 Entwicklungen besitzt. Wären die reellen Zahlen abzählbar, so hättes es auch nur abzählbar viele Entwicklungen gegeben.

    Jo, das muss man aber dazusagen.

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  • S

    lookias schrieb:

    @sg1: sobald in dieser darstellung sich 2 zahlen unterscheiden sind sie
    verschieden
    @jester: in welcher hinsicht gibt es 2 verschiedene darstellungen? diese ist
    jedenfalls eindeutig

    0,1=0,09‾0{,}1 = 0{,}0\overline{9}

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