Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

[santho]

dooya schrieb:

Hab meinen letzten Beitrag nochmal editiert.

Am besten du loeschst sie einfach alle. Danke.

[TGGC|_work]

LOL, so langsam hast du dich echt für jegliche mathematische Diskussion disqualifiziert.

dooya schrieb:

Seit wann ist denn "2 >=1"?

Seit wann ist denn ein Schluss korrekt, wenn die Folgerung eine Tautologie ist?

Ähh, schon immer.

dooya schrieb:

Es wäre vielleicht besser, wenn du über den einen oder anderen Punkt noch einmal nachdenkst.

Dito.

Bye, TGGC

[dooya]

TGGC|_work schrieb:

[...]

dooya schrieb:

Seit wann ist denn "2 >=1"?
[...]

Ähh, schon immer.

Ja, du hast Recht. *schäm* Allerdings bleibt der Informationsgewinn, der durch den Schluss "Ich sehe zwei Jungen => Anzahl der Jungen >= 1" verursacht wird, suboptimal. In deinem Beispiel folgerst du dann aber, dass

Wie groß ist die Chance auf Mädchen, wenn ich zwei Jungen sehe.
Ich sehe zwei Jungen => Anzahl der Jungen >= 1 => MJ,JM,MM möglich => Chance 2/3

Wenn du schon 2 Jungen siehst, wie kann dann das zweite Kind ein Mädchen sein? Dies limitiert doch die Angebrachtheit deines vorherigen Schlusses, oder?

TGGC|_work schrieb:

[...]

dooya schrieb:

[...]
Seit wann ist denn ein Schluss korrekt, wenn die Folgerung eine Tautologie ist?

Ähh, schon immer.
[...]

Ok, war unpräzise formuliert, denn ein solcher Schluss ist tatsächlich analytisch "wahr". Allerdings erschließt sich mir nicht dessen Nutzen, denn was bringt es, wenn B eine Tautologie und damit immer wahr ist und daher sowohl $A \Rightarrow B$ als auch $\neg A \Rightarrow B$ wahre Aussagen sind. Ist daraus irgend ein Informationsgewinn ableitbar?

Du hattest in deinen 4 Beispielen ursprünglich geschrieben: "Ich sehe einen Jungen => Anzahl der Mädchen >= 0 ". Gibt es irgendeine Bedingung unter der die Folgerung "Anzahl der Mädchen >= 0" falsch sein kann? Welchen Nutzen hat dieser Schluss?

TGGC|_work schrieb:

LOL, so langsam hast du dich echt für jegliche mathematische Diskussion disqualifiziert.[...]

dooya schrieb:

Es wäre vielleicht besser, wenn du über den einen oder anderen Punkt noch einmal nachdenkst.

Vielleicht sollten wir beide versuchen, unsere Beiträge etwas weniger "offensiv" zu formulieren, um die sachlichen Aspekte der Diskussion nicht zu verdrängen.

TGGC schrieb:

[...]Dito.

Bin grad dabei.

[TGGC|_work]

Kapier es, egal für wie sinnvoll, nützlich oder angebracht du einen Schluss hälst, entweder er ist korrekt oder nicht. Meine Schlüsse waren korrekt und haben trotzdem die Wahrscheinlichkeitsverteilungen beeinflusst. D.h. man kann Schlüsse nicht einfach so benutzen. Daher sind Eure Rechnugen falsch.

Übrigens wenn ich aus A folgere das B gilt, so weiss ich, wenn ich danch nur B betrachte, nie mehr als wenn ich A weiss. Wenn ich A weiss, weiss ich ja immer das B gilt, kenne 2 Informationen. Aber wenn B gilt, weiss ich nicht, ob A gilt, also kenne nur noch eine Information. Lediglich wenn A und B äquivalent sind, verändert sich meine Information nicht.

Bye, TGGC

[Daniel E.]

TGGC|_work schrieb:

Meine Schlüsse waren korrekt und haben trotzdem die Wahrscheinlichkeitsverteilungen beeinflusst. D.h. man kann Schlüsse nicht einfach so benutzen. Daher sind Eure Rechnugen falsch.

Nein, entgegen deiner Behauptung hast Du noch nicht gezeigt, daß der Schluß "man sieht einen Jungen, also gibt es einen Jungen" falsch ist. Ich werde dir auch nicht nochmal erklären, warum Du Annahmen ins Spiel bringst, die nicht in der Aufgabe vorkommen. Ich erkläre schließlich auch keine Witze. EOD.

[dooya]

TGGC|_work schrieb:

Kapier es, egal für wie sinnvoll, nützlich oder angebracht du einen Schluss hälst, entweder er ist korrekt oder nicht. Meine Schlüsse waren korrekt und haben trotzdem die Wahrscheinlichkeitsverteilungen beeinflusst. D.h. man kann Schlüsse nicht einfach so benutzen. Daher sind Eure Rechnugen falsch.

Ich bin mir nicht sicher, dass man dies tatsächlich aus deinem Beispiel tatsächlich ableiten kann:

Dein Beispiel:

Wie groß ist die Chance auf Mädchen, wenn ich zwei Jungen sehe.
Ich sehe zwei Jungen => Anzahl der Jungen >= 1 => MJ,JM,MM möglich => Chance 2/3

Der Schluss "Ich sehe zwei Jungen => Anzahl der Jungen >= 1" ist korrekt.

Aber ist "Anzahl der Jungen >= 1 => MJ,JM,MM möglich" auch korrekt? Ist dass Ereigniss "MM" möglich, wenn die "Anzahl der Jungen >= 1" ist? Und warum fehlt "JJ" in der Menge der möglichen Ereignisse, denn dieses Ereignis wäre doch eigentlich auch möglich, wenn die Anzahl der Jungen >= 1 ist, oder?

Das Ergebnis würde wohl auch mit diesen Änderungen 2/3 bleiben, was aber in meinen Augen nicht daran liegt, dass man Schlüsse nicht verwenden darf, sondern das der Schluss "Ich sehe zwei Jungen => Anzahl der Jungen >= 1" zwar korrekt aber inadäquat weil suboptimal ist.

Verwendet man bspw. anstatt deines Schlusses den folgenden: "Ich sehe zwei Jungen => Anzahl der Jungen >= 2" der ja eigentlich auch korrekt sein sollte (und eine bessere Informationsausbeute darstellt). Dann ergäbe sich

Wie groß ist die Chance auf Mädchen, wenn ich zwei Jungen sehe.
Ich sehe zwei Jungen => Anzahl der Jungen >= 2 => JJ möglich => Chance auf ein Mädchen = 0

Wenn ich zwei Jungen sehe, ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines der beiden Kinder ein Mädchen ist gleich null.

Ist das die korrekte Lösung?

[TGGC|_work]

@Daniel E.:
Lies. Der Schluss ist nicht falsch, ändert aber trotzdem die Wahrscheinlichkeiten, d.h. Ergerbnis falsch.

dooya schrieb:

Das Ergebnis würde wohl auch mit diesen Änderungen 2/3 bleiben, was aber in meinen Augen nicht daran liegt, dass man Schlüsse nicht verwenden darf, sondern das der Schluss "Ich sehe zwei Jungen => Anzahl der Jungen >= 1" zwar korrekt aber inadäquat weil suboptimal ist.

Du kannst dir ja noch zehn Worte ausdenken, mit denen du die von mir genannte Schlüsse bezeichnest. Das ändert nichts an der Tatsache, dass wahre Schlüsse die Wahrscheinlichkeitsverteilung beeinflussen. Also ist eure Rechnung falsch.

Bye, TGGC

[dooya]

TGGC|_work schrieb:

@Daniel E.:
Lies. Der Schluss ist nicht falsch, ändert aber trotzdem die Wahrscheinlichkeiten, d.h. Ergerbnis falsch.

dooya schrieb:

Das Ergebnis würde wohl auch mit diesen Änderungen 2/3 bleiben, was aber in meinen Augen nicht daran liegt, dass man Schlüsse nicht verwenden darf, sondern das der Schluss "Ich sehe zwei Jungen => Anzahl der Jungen >= 1" zwar korrekt aber inadäquat weil suboptimal ist.

Du kannst dir ja noch zehn Worte ausdenken, mit denen du die von mir genannte Schlüsse bezeichnest. Das ändert nichts an der Tatsache, dass wahre Schlüsse die Wahrscheinlichkeitsverteilung beeinflussen. Also ist eure Rechnung falsch.

Bye, TGGC

Abgesehen von meiner "Wortfindungsfähigkeit", ist die von mir vorgeschlagene Version deines Beispiels korrekt oder nicht?

Wie groß ist die Chance auf Mädchen, wenn ich zwei Jungen sehe.
Ich sehe zwei Jungen => Anzahl der Jungen >= 2 => JJ möglich => Chance auf ein Mädchen = 0

[TGGC|_work]

Das Ergebnis ist, der Lösungsweg nicht.

Bye, TGGC

[dooya]

TGGC|_work schrieb:

Das Ergebnis ist, der Lösungsweg nicht.

Bye, TGGC

Eine Begründung?

[TGGC|_work]

Weil es mindestens einen Fall gibt, in dem der Lösungsweg zu einem falschen Ergebnis führt.

Bye, TGGC

[dooya]

TGGC|_work schrieb:

Weil es mindestens einen Fall gibt, in dem der Lösungsweg zu einem falschen Ergebnis führt.

Bye, TGGC

Aber doch nur, weil du einen Schluss benutzt hast, der zwar logisch wahr ist, aber im Kontext der Aufgabe nicht sinnvoll.

[TGGC|_work]

dooya schrieb:

TGGC|_work schrieb:

Weil es mindestens einen Fall gibt, in dem der Lösungsweg zu einem falschen Ergebnis führt.

Bye, TGGC

Aber doch nur, weil du einen Schluss benutzt hast, der zwar logisch wahr ist, aber im Kontext der Aufgabe nicht sinnvoll.

- definiere: ein Schluss, der "im Kontext der Aufgabe nicht sinnvoll ist"
- zeige, dass dies für meinen Schluss gilt
- zeige, dass dies für deinen Schluss nicht gilt
- zeige, dass für alle Schlüsse, für die das nicht gilt, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen gleich bleiben

_So_ funktioniert Mathematik.

Bye, TGGC

[finix]

TGGC|_work schrieb:

@Daniel E.:
Lies. Der Schluss ist nicht falsch, ändert aber trotzdem die Wahrscheinlichkeiten, d.h. Ergerbnis falsch.

dooya schrieb:

Das Ergebnis würde wohl auch mit diesen Änderungen 2/3 bleiben, was aber in meinen Augen nicht daran liegt, dass man Schlüsse nicht verwenden darf, sondern das der Schluss "Ich sehe zwei Jungen => Anzahl der Jungen >= 1" zwar korrekt aber inadäquat weil suboptimal ist.

Du kannst dir ja noch zehn Worte ausdenken, mit denen du die von mir genannte Schlüsse bezeichnest. Das ändert nichts an der Tatsache, dass wahre Schlüsse die Wahrscheinlichkeitsverteilung beeinflussen. Also ist eure Rechnung falsch.

hehe.. ich dachte die waren nur ein Witz
Also gut:

TGGC schrieb:

Wie groß ist die Chance auf Mädchen, wenn ich einen Jungen sehe.
Ich sehe einen Jungen => Anzahl der Mädchen >= 0 => JJ,MJ,JM,MM möglich => Chance 1/2

Die Aussage "Anzahl der Mädchen >= 0" ist richtig, allerdings kein Schluss aus "Ich sehe einen Jungen". Sie galt schon vorher.
Daher lautet das Ergebnis 75% (und nicht 50%, du Genie :rolldice: ).
Ist aber auch nicht wirklich das geschickteste, da weitere, verwertbare, Informationen zur Verfügung stehen.

TGGC schrieb:

Wie groß ist die Chance auf Mädchen, wenn ich zwei Jungen sehe.
Ich sehe zwei Jungen => Anzahl der Jungen >= 1 => MJ,JM,MM möglich => Chance 2/3

Meinst du vielleicht MJ,JM,JJ? Davon ab, siehe oben.

TGGC schrieb:

Ich werfe eine Münze. Beim ersten Wurf zeigt sie Kopf, Wie groß ist bei Wurf 2 die Chance auf Kopf?
erster Wurf Kopf => mindestens einmal Kopf geworfen => ZK,KZ,KK möglich => Chance 2/3

Irgendwie scheinst du häufiger das Problem zu haben die Ergebnismenge nicht korrekt beschreiben zu können, hm? Kannst du es wirklich nicht oder ist das Taktik?
Versuch's mal mit {Z,K}.

TGGC schrieb:

Ich würfele mit einem Würfel, der erste Wurf ist 1. Wie hoch ist die Chance mit dem zweiten die Summe 7 zu erreichen?
erster Wurf 1 => erster Wurf ungerade => (1,6);(3,4);(5,2) möglich => Chance 3/36

Gleiche Situation wie zuvor.

[TGGC|_work]

finix schrieb:

Die Aussage "Anzahl der Mädchen >= 0" ist richtig, allerdings kein Schluss aus "Ich sehe einen Jungen".

Derartige Beschränkungen gibt es in der Logik nicht. Ich kann grundsätzlich von jedem A auf jedes B schliessen. Und wenn ( nicht A oder B )wahr ist, dann ist der Schluss wahr.

Langsam könnt ihr mit Euren Ausreden aufhören. Eure Rechnung ist einfach falsch.

Bye, TGGC

[page47]

*thread fix*

[dooya]

TGGC|_work schrieb:

dooya schrieb:

TGGC|_work schrieb:

Weil es mindestens einen Fall gibt, in dem der Lösungsweg zu einem falschen Ergebnis führt.

Bye, TGGC

Aber doch nur, weil du einen Schluss benutzt hast, der zwar logisch wahr ist, aber im Kontext der Aufgabe nicht sinnvoll.

- definiere: ein Schluss, der "im Kontext der Aufgabe nicht sinnvoll ist"
- zeige, dass dies für meinen Schluss gilt
- zeige, dass dies für deinen Schluss nicht gilt
- zeige, dass für alle Schlüsse, für die das nicht gilt, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen gleich bleiben

_So_ funktioniert Mathematik.

Bye, TGGC

Ein Gedankenspiel: Der Schluss "2 * 2 = 5" -> "2 ist ungerade" ist eine wahre Aussage, weil die Implikation von einer falschen Aussage auf eine falsche Aussage den Wahrheitswert "Wahr" ergibt. (Gleichzeitig ist sie ein Beispiel für das was ich mit "wenig sinnvoll" bezeichnen würde.)

Die identische Form der Implikation wird bspw. für "a < b" -> "2a < 2b" benutzt, die in der Arithmetik der natürlichen Zahlen ebenfalls wahr ist.

Darf ich nun Implikationen dieser Form in einem Beweis nicht mehr nutzen? Kann es sein, dass die erste Implikation in vielen mathematischen Beweisen von begrenzten Wert ist, auch wenn sich dieser mathematisch nicht spezifizeren lässt. Trotzdem ist das zweite Beispiel einer Implikation sinnvoll und richtig (auch wieder keine mathematische Teminologie, ich weiss *schäm*).

Analog vermute ich, dass du zu meinem Beweis beliebig viele logisch wahre, aber im Kontext wenig hilfreiche, bzw. sinnvolle Beispiele finden kannst, ohne das dies die Gültigkeit meiner Herleitung berühren muss.

Ich habe meine Herleitung eben nochmal durchgelesen und empfinde sie immer noch als angemessen.

Ich bin ohnehin der Meinung, dass unsere Differenzen nicht in der Form der Herleitung, sondern nur in der Interpretation der Aussage "Ein Junge steht am Fenster"(=B) liegt. Du bist der Meinung, dass diese Information unabhängig vom Ereignis "das zweite Kind ist ein Mädchen" (=A)ist und benutzt die Information "Ein Junge steht am Fenster" de facto nicht, denn weil bei Unabhängigkeit der Ereignisse P(A|B) = P(A) gilt, ist es tatsächlich egal, welches Ereignis durch das B bezeichnet wird. Bspw. ergibt deine Rechnung -wenn A unabhängig B gilt- das gleiche Ergebnis, wenn B = "Ein Kind steht am Fenster sein/ihr Geschlecht ist nicht bekannt" wäre.

Ich bin dieser Meinung nicht und werte daher die Information "am Fenster steht ein Junge" anders. Allein daher kommen wir zu unterschiedlichen Ergebnissen.

Ich denke dass dies ein typisches Problem ist, weil die Übersetzung der Alltagssprache in mathematische Notation wohl nicht eindeutig ist.

[scrub]

ist das eigentlich so schwer zu begreifen: TGGC ist einfach der meinung, daß die aussagen "junge steht am fenster" und "eins der kinder ist ein junge" nicht äquivalent sind.

daraus zieht er den schluß, daß man die aussagen also nicht so austauschen könnt, wie ihr es macht. einige sagen hier einfach "ein junge steht am fenster, daß heißt einfach, es gibt einen jungen", aber das geht seiner meinung nach nicht. ich bin da seiner meinung.

ihr vergeßt einfach, daß der junge auch noch am fenster steht. wenn ihr euch dann mal überlegt, daß es ja auf jeden fall sein könnte, daß ein zweiter junge existiert, der nicht am fenster steht, dann heißt das doch nix anderes als, daß man J und J auch unterscheiden muß, wenn es zwei sind.

also ergäbe sich dann als ereignismenge JJ, JJ, MJ und JM. auch dieser umweg führt zum ergebnis 1/2.

wenn man aber, wie es hier geschieht, einfach aus der aussage "junge steht am fenster" ein "es gibt einen jungen" macht, dann kann man natürlich daraus auf 2/3 kommen, das ist ja zweifelsohne nachvollziehbar.

an dieser stelle entbrannte eine diskussion darüber, welche annahme wohl sinnvoller sei; ergebnis ist, daß es ein fehler in der aufgabenstellung ist, daß man überhaupt den obigen punkt diskutieren kann- weil das in der aufgabenstelleung eben, je nach sichtweise, nicht klar forumliert wurde.

selbst ein feldversuch, mit münzen beispielsweise, hapert an dieser verschiedenen interpretation. wenn man sich aber auf eine basis einigen würde, müßte man nicht mehr experimentieren, weil das ergebnis dann auch unmittelbar nachvollzogen werden kann.

[TGGC]

Langsam langweilt ihr mich, wenn wenigstens mal neue Argumente von Euch kommen würden und nicht immer wieder das gleiche widergekaut würde.

dooya schrieb:

Ein Gedankenspiel: Der Schluss "2 * 2 = 5" -> "2 ist ungerade" ist eine wahre Aussage, weil die Implikation von einer falschen Aussage auf eine falsche Aussage den Wahrheitswert "Wahr" ergibt. (Gleichzeitig ist sie ein Beispiel für das was ich mit "wenig sinnvoll" bezeichnen würde.)

Die identische Form der Implikation wird bspw. für "a < b" -> "2a < 2b" benutzt, die in der Arithmetik der natürlichen Zahlen ebenfalls wahr ist.

Darf ich nun Implikationen dieser Form in einem Beweis nicht mehr nutzen? Kann es sein, dass die erste Implikation in vielen mathematischen Beweisen von begrenzten Wert ist, auch wenn sich dieser mathematisch nicht spezifizeren lässt. Trotzdem ist das zweite Beispiel einer Implikation sinnvoll und richtig (auch wieder keine mathematische Teminologie, ich weiss *schäm*).

Aus etwas Falschem kannst du alles Falsche und alles Wahre folgern. Das wird dir also nichts nützen, wenn du zeigen willst, das etwas wahr ist.

dooya schrieb:

Analog vermute ich, dass du zu meinem Beweis beliebig viele logisch wahre, aber im Kontext wenig hilfreiche, bzw. sinnvolle Beispiele finden kannst, ohne das dies die Gültigkeit meiner Herleitung berühren muss.

Nochmal zum Mitmeisseln deine Fehler:
- P("Kind am Fenster ist Junge") durch P( "Anzahl Jungen >= 0") ersetzt
- P("A geschnitten B") nicht bzw. falsch berechnet

Die Fehler reichen im Grunde schon, da wären Beispiele nicht nötig, würdest du sie einsehen.

dooya schrieb:

Ich habe meine Herleitung eben nochmal durchgelesen und empfinde sie immer noch als angemessen.

Was nichts daran ändert, dass sie falsch ist.

dooya schrieb:

Ich bin ohnehin der Meinung, dass unsere Differenzen nicht in der Form der Herleitung, sondern nur in der Interpretation der Aussage "Ein Junge steht am Fenster"(=B) liegt. Du bist der Meinung, dass diese Information unabhängig vom Ereignis "das zweite Kind ist ein Mädchen" (=A)ist und benutzt die Information "Ein Junge steht am Fenster" de facto nicht, denn weil bei Unabhängigkeit der Ereignisse P(A|B) = P(A) gilt, ist es tatsächlich egal, welches Ereignis durch das B bezeichnet wird. Bspw. ergibt deine Rechnung -wenn A unabhängig B gilt- das gleiche Ergebnis, wenn B = "Ein Kind steht am Fenster sein/ihr Geschlecht ist nicht bekannt" wäre.

Natürlich benutze ich die Aussage, ich werde dir die Stellen nochmal fett markieren. Meiner Rechnung setzt nicht voraus, dass die Ereignisse unabhängig sind. Aus dem Ergebnis folgt dies aber und das Ergebnis würde auch aus dieser folgen. Du kannst ja aber dein Bauchgefühl, was dir ja schon bei den Schlüssen so zuverlässig hilft, fragen: Wenn wir das Geschlecht des Kindes, das nicht am Fenster steht, raten wollen, wie soll uns Wissen um das Geschlecht des anderen Kindes helfen?

Aufgabe: Eine Familie hat zwei Kinder. Eines der Kinder steht am Fenster. Dieses Kind ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist?

Wir wollen den beobachteten Zustand "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" B nennen. Alle unsere Betrachtungen müssen also unter der Voraussetzung das B eintritt, gemacht werden, kurz "wenn B". Wir wollen das Kind, welches nicht am Fenster steht "anderes Kind" nennen.

Wir stellen fest:
P( "anderes Kind ist ein Mädchen" wenn B ) + P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B ) = 1
P( "anderes Kind ist ein Mädchen" wenn B ) = 1 - P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B )

Die gilt, weil sich die Junge/Mädchen ausschliest, aber auch keine dritte Möglichkeit existiert. Daher muss die Summe 1 beider Wahrscheinlichkeiten sein.

Wie gross ist nun die Wahrscheinlichkeit für "anderes Kind ist ein Junge" unter der Bedingung "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge"? Also A= "anderes Kind ist ein Junge" und B= "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge", kurz geschrieben: gesucht wird P(A|B).

P( "anderes Kind ist ein Junge" wenn B )= P(A|B)= P( A geschnitten B ) / P( B )

Zunächst zu P(B):
Wenn ein Kind am Fenster steht, so ist sein Geschlecht mit einer Chance von 50% männlich, da am Fenster stehen und das Geschlecht unabhängig sind und wir eine Geschlechterverteilung von 1:1 annehmen. Daher gilt P( B )= 0.5.

Kommen wir zu P( A geschnitten B ):
Die Wahrscheinlichkeit das "Kind, welches am Fenster steht, ist ein Junge" und "anderes Kind ist ein Junge" ist auch recht einfach zu erkennen! Dies kann nur gelten wenn die Familie zwei Jungen hat. Die Wahrscheinlichkeit, das als erstes Kind ein Junge geboren wird, ist 0.5. Für das zweite Kind ebenso. Da die Geburten unabhängig voneinander sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, das beides eintritt, durch Multiplikation. Also P( A geschnitten = 0.5 * 0.5 = 0.25

Damit ergibt sich:

P( anderes Kind ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.25 / 0.5
P( anderes Kind ist ein Junge wenn B )= P(A|B) = 0.5

und

P( anderes Kind ist ein Mädchen wenn B ) = 1 - 0.5
P( anderes Kind ist ein Mädchen wenn B ) = 0.5

[rev. 5]

Bye, TGGC

[Gast]

@TGGC: Deine Ausdauer ist bewundernswert. Glaubst du, dass du sie noch retten kannst? Ich nicht.