Inverse 4*4 Matrix mit Determinanten

Jester

Hm, bin mir nicht sicher wie ob das ein vernünftiger Weg ist, aber wenn Du's unbedingt mit Determinanten machen willst:

Normale Invertierung mit Gauß ist ja nur ein simultanes Lösung von Gleichungssystemen. Gleichungssysteme kann man mit der Cramerschen Regel mit Hilfe von Determinanten lösen. Wenn Du das auf jede der Gleichungen, die der Gauß simultan löst anwendest kriegst Du die Inverse auch raus.

Ob das allerdings besonders schnell ist? - Ich glaub's nicht.

MamboKurt schrieb:

ich glaub das geht über konjugierte matrizen(bin mir aber wirklich nicht sicher).
warum machst du keine gauß? is imho die einfachste art das zu machen

.MamboKurt

Ich finde gauss verfahren nicht so toll.vorallem nicht wenn du brüche hast.
es müßte eine einfache allgemeine formel geben.mit der du matrizen mit höheren rängen schnell invertieren kannst.

mit determinanten kannst du sehr schnell matrizen invertieren(regel sarrus od.so ähnlich).allerdings nur bis rang 3.die cramersche regel ist umständlich benutze ich nicht mal für LGS.es muß doch was einfacheres geben wie gauss für höhere ränge.auf einer seite hab ich mal ein java applet gesehen das sehr schnell die inverse berechnet bis glaub ich 15^2.also muß es ja eine allgemeine formel geben.oder?

mata

A^-1=1/|a| * B
mit B=A adjungiert (keine ahnung von latex)

und A adjungiert wird doch über 2x2 Determinanten berechnet, wenn mich nicht alles täuscht

Taurin

mata schrieb:

A^-1=1/|a| * B
mit B=A adjungiert (keine ahnung von latex)

und A adjungiert wird doch über 2x2 Determinanten berechnet, wenn mich nicht alles täuscht

Was meinst du mit klein a? Ist das ein Tippfehler und du meinst groß A? Was ist der Betrag einer Matrix? Meinst du eine Matrixnorm? Welche?
Und was haben adjungierte Matrizen mit Determinanten zu tun?

auf einer seite hab ich mal ein java applet gesehen das sehr schnell die inverse berechnet bis glaub ich 15^2.also muß es ja eine allgemeine formel geben.oder?

Und was soll das Programm daran hindern, Gauss zu benutzen?

rapso

mit dem betrag von a meinte er wohl die determinante.
auf cpus die inverse zu berechnen ist mittels gaus eigentlich am einfachsten, wenn die matrizen hochdimensional sind. für 3x3 und 4x4 ist das mit der adjunkten/determinante wohl am einfachsten und schnellsten.

rapso->greets();

pumuckl

such mal nach den "numerical recipes in C", (oder wahlweise auch in FORTRAN) Dort steht einiges über numerische Methoden drin, wie man die inversion von Matrizen möglichst schnell rechnet. Das sind allerdings meist numerische Verfahren und keine analytischen, da es dort eher darum geht, Matrizen der Größenordnung 1000000 vom Computer umrechnen zu lassen. Andererseits steht sehr viel analytische Theorie drin, die man durchaus auch auf "normalgroße" Matrizen anwenden kann.

Erstmal vielen Dank für eure Tips,nur ich wollte eigentlich auch wissen wie das genau geht mit den Determinanten.Also ich kenne die Cramersche Regel und ich kenne auch die Regel von Sarrus.Könnte mir jemand mal genau erklären wie ich eine 4*4 matrize mit den determinanten invertieren kann?Zudem setzt man die Cramersche regel nur für LGS ein dafür wurde sie ja auch gedacht.Bleibt dann nur noch die Regel von Sarrus.Für Sarrus kenne ich das Umstellungsmuster nur für max. 3*3 Matrizen.Also gefragt ist das Umstellungsmuster für 4*4 Matrizen.Ich hoffe ihr wisst was ich meine.

cico2005 schrieb:

Erstmal vielen Dank für eure Tips,nur ich wollte eigentlich auch wissen wie das genau geht mit den Determinanten.Also ich kenne die Cramersche Regel und ich kenne auch die Regel von Sarrus.Könnte mir jemand mal genau erklären wie ich eine 4*4 matrize mit den determinanten invertieren kann?Zudem setzt man die Cramersche regel nur für LGS ein dafür wurde sie ja auch gedacht.Bleibt dann nur noch die Regel von Sarrus.Für Sarrus kenne ich das Umstellungsmuster nur für max. 3*3 Matrizen.Also gefragt ist das Umstellungsmuster für 4*4 Matrizen.Ich hoffe ihr wisst was ich meine.

Es gilt:

A^-1=1/[Determinante von A]*[Adjungten von A].

Gesucht sind die Adjungten von A bei einer 4*4 M.

Jester

Das Ding heißt Adjungierte.

Jester schrieb:

Das Ding heißt Adjungierte.

Danke!Aber das bringt mich auch nicht weiter....

Jester

Adjungierte Matrix heißt: Man kann sie im Skalarprodukt rüberschieben:

Ist A eine Matrix (quadratisch) und A* die adjungierte Matrix, dann gilt:

<Ax,y> = <x,A* y>

Du kannst jetzt zum Beispiel mit x,y mal die Standardbasis durchlaufen. Dadurch erhältst Du ein LGS, dessen Lösung die adjungierte Matrix beschreibt.

Jester schrieb:

Adjungierte Matrix heißt: Man kann sie im Skalarprodukt rüberschieben:

Ist A eine Matrix (quadratisch) und A* die adjungierte Matrix, dann gilt:

<Ax,y> = <x,A* y>

Du kannst jetzt zum Beispiel mit x,y mal die Standardbasis durchlaufen. Dadurch erhältst Du ein LGS, dessen Lösung die adjungierte Matrix beschreibt.

Hmm...Das verstehe ich jetzt nicht ganz.Erkläre mir das bitte anhand einer Bsp.Matrix.
Gegeben ist die 4*4 Matrix:
Zeile1(1111),Z2(2222),Z3(3333),Z4(4444).
Es ist jetzt egal ob Det=0.Es soll nur ein simples einfaches Bsp.sein,wie du das mit den Adjungierten meinst.

So ist es wohl sinnvoller...

Gegeben ist die 4*4 Matrix:
Zeile1(a11,a12,a13,a14),Z2(a21,a22,a23,a24),Z3(a31,a32,a33,a34),
Z4(a41,a42,a43,a44).Es soll nur ein simples einfaches Bsp.sein,wie du das mit den Adjungierten meinst.[/quote]

mr_woo

Ok ich versuche es mal, obwohl das invertieren einer Matrix mit Hilfe von Determinanten sehr aufwendig ist.

Beispiel: 3X3 Matrix:
Zeile 1: 1;2;0
Zeile 2: 1;0;3
Zeile 3: 2;1;1

Die Determinante dieser Matrix lautet7.

Zuerst muß Du die sog. Minoren bestimmen, Minor 1;1 erzeugst Du z.B. in dem Du die erste Zeile und die erste Spalte der Ausgangsmatrix streichst, es verbleibt also:

Zeile 1: 0;3
Zeile 2: 1;1

Dann bestimmst Du die Determinante des Minors (hier=-3), und wiederholst dies für alle Minoren (eine 3X3-Matrix hat demnach 9 Minoren) und bestimmst alle Minoren-Determinanten.

Jetzt kannst Du eine Matrix der Minoren-Determinanten erstellen, die man als adjunkte Matrix bezeichnet. Das erste Element der adjunkten Matrix, also 1X1 ist die Determinante des Minors 1;1. Aber Obacht: Du must die Vorzeichen der adjunkten Matrix manuell bestimmen, und zwar nach dem Schema dass alle Elemente mit einer geraden Summe aus Spalten- und Zeilenindex mit + multipliziert werden et vice versa. Beispiel: Minor 2X3 (2 Zeile, 3 Spalte gestrichen) lautet:

Zeile 1: 1;2
Zeile 2: 2;1

Die Determinante lautet -3, die Summe der Zeilen und Spalten ist ungerade (=5), daher folgt für das Element 2X3 der adjunkten Matrix: 3

Nun mußt Du die adjunkte Matrix transponieren, woraus die adjungierte Matrux folgt. Wenn Du richtig rechnest und die Vorzeichen korrekt sortierst, dann kommt in dem Beispiel folgende adjungierte Matrix raus:

Zeile 1: -3;-2;6
Zeile 2: 5;1;-3
Zeile 3: 1;3;-2

Jetzt kanst Du jedes Element der adjungierten Matrix durch die Determinante der Ausgangsmatrix (=7) dividieren und es folgt als Inverse:

Zeile 1: -3/7; -2/7; 6/7
usw. usw.

Hoffe das hilft & und dass ich mich nicht verrechnet habe,

Gruß mr_woo

Jester

*doh*

dat war nix

Also ich berechne die Inverse einer 3x3 Matrix etwas anders...
Gegeben ist die Matrix A

|120|
|103|DetA=7
|211|

1.Ich berechne wie du zuerst die Determinante das ist in dem Fall=7
2.Meine Adjunkten stellen sich zusammen aus:
|xxx||x20||x20|
|x03|=-3-|xxx|=-2__|x03|=6
|x11||x11|_|xxx|

|xxx||1x0||1x0|
-|1x3|=5___|xxx|=1__-|1x3|=-3
|2x1||2x1|_|xxx|

|xxx||12x||12x|
|10x|=1-|xxx|=3___|10x|=-2
|21x||21x|_|xxx|

also a^-1=
____|-3,-2,6|
_1/7*|5,1,-3,|
____|1,3,-2,|

Schaut man sich jetzt die x in den Determinanten an so erkennt man ein Muster,
das man immer so anwenden kann...
Dieses Muster suche ich bei 4x4 Matrizen.

cico2005 schrieb:

Also ich berechne die Inverse einer 3x3 Matrix etwas anders...
Gegeben ist die Matrix A

|120|
|103|DetA=7
|211|

1.Ich berechne wie du zuerst die Determinante das ist in dem Fall=7
2.Meine Adjunkten stellen sich zusammen aus:
|xxx||x20||x20|
|x03|=-3-|xxx|=-2__|x03|=6
|x11||x11|_|xxx|

|xxx||1x0||1x0|
-|1x3|=5___|xxx|=1__-|1x3|=-3
|2x1||2x1|_|xxx|

|xxx||12x||12x|
|10x|=1-|xxx|=3___|10x|=-2
|21x||21x|_|xxx|

also a^-1=
____|-3,-2,6|
_1/7*|5,1,-3,|
____|1,3,-2,|

Schaut man sich jetzt die x in den Determinanten an so erkennt man ein Muster,
das man immer so anwenden kann...
Dieses Muster suche ich bei 4x4 Matrizen.

Merke ich mir jetzt die x-muster kann ich eine inverse 3x3 matrix schneller berechnen wie durch Gauss-Jordan.
Das funktioniert auch bei Inhomogenen LGS.
Inverse berechnen durch x-Muster-Schema diese dann Multiplizieren mit xyz-Vektor,dann das Ergebniss durch Determinantenwert und fertig.

mr_woo

cico2005 schrieb:

Also ich berechne die Inverse einer 3x3 Matrix etwas anders...
Gegeben ist die Matrix A

|120|
|103|DetA=7
|211|

1.Ich berechne wie du zuerst die Determinante das ist in dem Fall=7
2.Meine Adjunkten stellen sich zusammen aus:
|xxx||x20||x20|
|x03|=-3-|xxx|=-2__|x03|=6
|x11||x11|_|xxx|

|xxx||1x0||1x0|
-|1x3|=5___|xxx|=1__-|1x3|=-3
|2x1||2x1|_|xxx|

|xxx||12x||12x|
|10x|=1-|xxx|=3___|10x|=-2
|21x||21x|_|xxx|

also a^-1=
____|-3,-2,6|
_1/7*|5,1,-3,|
____|1,3,-2,|

Schaut man sich jetzt die x in den Determinanten an so erkennt man ein Muster,
das man immer so anwenden kann...
Dieses Muster suche ich bei 4x4 Matrizen.

Ich kann jetzt nicht erkennen, dass Du etwas anderes machst als das was ich beschrieben habe, oder übersehe ich etwas

Gruß mr_woo

mr_woo schrieb:

Ich kann jetzt nicht erkennen, dass Du etwas anderes machst als das was ich beschrieben habe, oder übersehe ich etwas

Gruß mr_woo

OK!Dann zeig mir das besagte Muster für 4x4 Matrizen.