4. Beweis zum Thema Dualraum

Beweis zum Thema Dualraum

  • L

    Hallo!

    Ich hänge grade bei den Vorbereitungen auf meine LA-Prüfung bei den Dualräumen fest. Und zwar geht es um folgenden Beweis:

    (M_1+M_2)0=M_10∩M_20(M\_1 + M\_2)^0 = M\_1^0 \cap M\_2^0
    und
    (Φ_1+Φ_2)0=Φ_10∩Φ_20(\Phi\_1 + \Phi\_2)^0 = \Phi\_1^0 \cap \Phi\_2^0
    dabei sind M_1,M_2M\_1, M\_2 Unterräume des VR V und Φ_1,Φ_2\Phi\_1, \Phi\_2 sind aus V∗V^* also dem Dualraum.

    Das soll angeblich unmittelbar daraus folgen, dass
    dim(U)+dim(U0)=dim(V)dim(U) + dim(U^0) = dim(V)
    bzw.
    dim(Φ)+dim(Φ0)=dim(V)dim(\Phi) + dim(\Phi^0) = dim(V)
    und
    (M_1∪M_2)0=M_10∩M_20(M\_1 \cup M\_2)^0 = M\_1^0 \cap M\_2^0
    bzw.
    (Φ_1∪Φ_2)0=Φ_10∩Φ_20(\Phi\_1 \cup \Phi\_2)^0 = \Phi\_1^0 \cap \Phi\_2^0
    gilt.

    Lustigerweise (alles andere was ich heute durchgegangen bin, war mir sofort klar) hänge ich da irgendwie fest. Sieht das eventuell jemand, warum das so ist??

    cya
    liquid

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  • J

    Was soll die 0 im Exponenten genau bedeuten? Soll das Zeichen für den Dualraum sein? Mir ist irgendwie die Fragestellung noch nicht ganz klar. Bin im Moment aber auch zu betrunken für ne sinnvolle Antwort ;). Bin aber sicher, daß ich was dazu weiß.

    0
  • L

    Die Null ist der Annulator, wenn dir das was sagt. Ich glaub ich bin mindestens genauso müde wie du betrunken bist. *g*
    Verschieben wirs auf morgen, gut Nacht *zzz*

    0
  • J

    Ist der Annulator die Menge M0={Φ∣Φ∈End(V,k),Φ(M)={0}}M^0 = \{ \Phi \mid \Phi \in End(V,k), \Phi(M) = \{0\}\}?

    Sind Deine Räume endlich dimensional?

    0
  • L

    Also endlich dimensional sind die Vektorräume schonmal. Ich schreib mal kurz unsere Definition von Annulator hin:

    M0={Φ∈V∗∣Φ(v)=0∀v∈M}M^0 = \{ \Phi \in V^* \mid \Phi(v) = 0 \forall v \in M \}

    Mal eine ganz dumme Frage (ich bin absoluter LaTeX n00b und tippe diese paar Zeilen mit dem LaTeX Kochbuch neben mir): Wie bekomme ich es hin, dass er hinter der Null (und dem ∀\forall ) Freiraum läßt?

    cya
    liquid

    0
  • J

    Mir ist nicht so richtig klar, was die Dimensionsaussagen da zu suchen haben.

    Du hast ja (M_1∪M_2)0=M_10∩M_20(M\_1 \cup M\_2)^0 = M\_1^0 \cap M\_2^0 außerdem ist klar, daß gilt (M_1∪M_2)0=(M_1+M_2)0(M\_1 \cup M\_2)^0 = (M\_1 + M\_2)^0. Das kann man einfach nachrechnen. Wenn etwas auf der Summe verschwindet, dann natürlich auch auf der Vereinigung (die ist ja Teilmenge). Umgekehrt: jedes in der Summe läßt sich als m1+m2 schreiben. Läßt etwas die Vereinigung verschwinden, dann natürlich insbesondere m1 und m2, also wegen der Linearität auch m1+m2. Dann kannste die die Dimensionsgeschichte sparen.

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  • L

    Hehe, ja jetzt sehe ichs endlich auch. Man, da hätte ich eigentlich auch selbst drauf kommen können. Aber naja, danke nochmal für die schnelle Hilfe.
    Kapitel Dualräume abgeschlossen, weiter gehts. 🙂

    cya
    liquid

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  • J

    Viel Spaß noch. Wann hast Du Prüfung?

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  • L

    Am 20.09. also übernächste Woche am Dienstag. Ich denke aber, dass ich ganz gut in der Zeit bin mit dem Stoff, zumal das quasi der zweite intensive Durchgang ist. Naja, wir werden es sehen. 🙂

    cya
    liquid

    0
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