Stetigkeit
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du musst die funktion in ihre definierten intervalle zerlegen und diese betrachten, diese sind dann alle stetig
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Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft von Funktionen. Eine Funktion f ist an der Stelle x0 stetig, wenn kleine Störungen in x0 auch nur kleine Störungen am Funktionswert f(x0) verursachen.
Beispiel zum Veranschaulichen: Schau dir die Funktion f(x) = x^2 an. Die Funktion ist an der Stelle x0 = 2 (f(x0) = 4) stetig: Stören wir x0 = 2 ganz bischen, z.b. x0 + Störung = 2.01. Dann ist f(x0 + Störung) = 4,0401 ≈ 4. Das kann man für jede bel. Stelle x0 von f testen.
Wenn f an jeder Stelle x aus dem Definitionsbereich stetig ist, dann nennt man die ganze Funtkion f stetig. Für f(x) = x^2 gilt das natürlich.
Streng formal wird diese Definition dann ε-δ-Kriterium genannt.
Für reelle Funktionen (wie deine) kann man dazu auch das "Bleistiftkriterium" her holen. Wenn man den Graph der Funktion ohne abzusetzen malen kann, ist die Funktion stetig.
sonstwer², jetzt überleg dir mal: Warum ist das beides das selbe? Und wie kann man das auf deine Funktion oben anwenden?
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Die Funktion 1/x ist stetig.
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Warum ist das beides das selbe? Und wie kann man das auf deine Funktion oben anwenden?
Weil -3 und 3 nicht zum Definitionsbereich gehören, und somit es egal ist, ob sie dort einen Funktionswert haben/hätten, oder nicht?
Wenn aber die Definition einen Def-Bereich von x € R \ {3} hätte, dann wäre sie also nicht stetig, weil sie bei -3 keinen Wert hat?
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sonstwer² schrieb:
Warum ist das beides das selbe? Und wie kann man das auf deine Funktion oben anwenden?
Weil -3 und 3 nicht zum Definitionsbereich gehören, und somit es egal ist, ob sie dort einen Funktionswert haben/hätten, oder nicht?
Wenn aber die Definition einen Def-Bereich von x € R \ {3} hätte, dann wäre sie also nicht stetig, weil sie bei -3 keinen Wert hat?
Wenn eine Funktion -3 in ihrem Definitionsbereich hat, dann hat sie auch dort einen Wert. Für jedes Element aus dem Definitionsbereich gibt es einen Wert.
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Ist zwar lange her, aber erinnere mich dunkel an eine Regel von de l’Hospital die man heranzieht. Man bildet die Ableitung der Grundfunktion und bestimmt den Grenzwert. Dann vergleicht man den mit dem Grenzwert der Grundfunktion. Ist der Grenzwert der Grundfunktion unendlich oder null und der Grenzwert verschieden davon, dann ist der Grenzwert der Grundfunktion gleich dem Grenzwert der Ableitung zu setzen.
War doch hoffentlich richtig, oder?
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helmuth schrieb:
Ist zwar lange her, aber erinnere mich dunkel an eine Regel von de l’Hospital die man heranzieht. Man bildet die Ableitung der Grundfunktion und bestimmt den Grenzwert. Dann vergleicht man den mit dem Grenzwert der Grundfunktion. Ist der Grenzwert der Grundfunktion unendlich oder null und der Grenzwert verschieden davon, dann ist der Grenzwert der Grundfunktion gleich dem Grenzwert der Ableitung zu setzen.
War doch hoffentlich richtig, oder?
Das klingt wirr. Ich glaub, du vermischt da irgendwelche Sachen.
Die Funktion 1/x ist stetig.
Wie kommst du auf so einen Quatsch?
Warum ist das beides das selbe?
Wenn du mit dem Stift ein ganz wenig auf der Kurve nach rechts fährst, änderst du damit den aktuellen x-Wert. Wenn nun diese leichte Änderung im x-Wert nur eine leichte Änderung an f(x) zur Folge hat, dann musst du deinen Stift nicht absetzten. Wenn die Änderung groß ist (also bei einem Sprung oder einem Pol), musst du den Stift absetzten, um auf der Kurve zu bleiben.
Warum ist jetzt eine Funktion an einer Polstelle unstetig? Im Beispiel oben haben wir einen Pol bei -3. Wenn wir jetzt von einer Seite ganz, ganz dicht an die -3 herangehen (und damit bleiben wir im Definitionsbereich), kann eine kleine Störung große Änderungen im Funktionwert zur Folge haben (falls wir über die Polstelle herüberhüpfen).
Und ausserdem kann man so eine Kurve nicht ohne abzusetzten zeichenen
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Taurin schrieb:
Die Funktion 1/x ist stetig.
Wie kommst du auf so einen Quatsch?
Wie kommst du auf den Quatsch, dass eine Funktion stetig ist, wenn man sie ohne den Stift abzusetzen zeichnen kann?
Hier nochmals die Definitionen:
Eine Funktion ist stetig, wenn sie an jedem Punkt ihres Definitionsbereichs stetig ist.
Eine Funktion f ist an einem Punkt a ihres Definitionsbereichs D stetig, wenn es zu jedem e > 0 ein d > 0 gibt, so dass für alle x aus D mit |x-a| < d gilt |f(x)-f(a)| < e.
Damit ist 1/x stetig aber auch die Funktion g auf dem Definitionsbereich R \ [0,1]:
g(x) = 1 für x < 0 und -1 für x > 1
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Also hier wurden ja schon einige Dinge über die Funktion f(x) = 1/x gesagt.
Ich denke ich muss Ponto da recht geben.
Eine Funktion ist dann stetig, wenn sie an allen Stellen ihres Definitionsbereichs stetig ist. Das ist bei f(x) = 1/x der Fall!
Der Def.bereich ist D = R\{0}
Eine Funktion ist dann an einer Stelle stetig, wenn gilt:
linksseitiger Grenzwert = Funktionswert = rechtsseitiger Grenzwert
Das ist bei allen Werten der Funktion f(x), die zu D gehören der Fall also ist die gesamte Funktion stetig.Ich hoff mal das ich da jetzt nix falsches erzählt hab!
Mfg Ocin
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Ne, da ist nix falsches dran.
Über Stetigkeit läßt sich natürlich nur auf einem Definitionsbereich reden.
Wer's nicht glaubt, der Schlage Stetigkeit bitte im Mathebuch der Wahl (bitte kein Schulbuch) nach oder schaue mal bei Wikipedia vorbei.Insgesamt gilt der tolle Satz:
Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von stetigen Funktionen sind stetig.
Richtig ist aber: 1/x läßt sich nicht stetig in 0 fortsetzen: Es gibt keinen Funktionswert, den man der Funktion bei 0 geben könnte, sodaß die Funktion in 0, also auf ganz R stetig ist.
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Ponto schrieb:
Wie kommst du auf den Quatsch, dass eine Funktion stetig ist, wenn man sie ohne den Stift abzusetzen zeichnen kann?
Weil der Threadersteller auf mich den Eindruck macht, als würde er noch zur Schule gehen. Und da reicht diese Pseudo-Definition prima aus. Formale Epsilontik verwirrt ihn bestimmt mehr, als das es ihm hilft.
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Taurin|unterwegs schrieb:
Ponto schrieb:
Wie kommst du auf den Quatsch, dass eine Funktion stetig ist, wenn man sie ohne den Stift abzusetzen zeichnen kann?
Weil der Threadersteller auf mich den Eindruck macht, als würde er noch zur Schule gehen. Und da reicht diese Pseudo-Definition prima aus. Formale Epsilontik verwirrt ihn bestimmt mehr, als das es ihm hilft.
Die provozierende Antwort von Ponto kam wohl nur deshalb zu stande,
weil du einfach mal behauptest hast, 1/x wäre in 0 unstetig
(was sie ja nicht ist, auch wenn sie ebenfalls dort nicht stetig ist).Aber es sollte doch wohl klar sein, dass wenn man das Glück hat eine
Funktion zeichnen zu können, man dies auch stets machen sollte und
eben die Stellen an denen man den Stift abnehmen muss, einer genaueren
Untersuchung bedürfen. Dann kann man den formalen Beweis antreten,
welcher ja eh viel leichter wird, wenn man schon weiss, ob man
Stetig- oder Unstetigkeit beweisen will.Jockel
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Nachtrag:
Man sollte noch erwähnen, dass die 'Bleistiftmethode' -wenn überhaupt-
nur für reelle Funktionen möglich ist. So ist z.B. jede Folge
als Funktion N->R stetig und zeichen kann man sie auch. Den
Stift muss man trotzdem unendlich oft absetzen.Jockel