a + a^-1

[Leberkusen]

Hallo!

Warum ist a + a^-1 immer größer oder gleich 2 (f. a > 0)?
Wie beweist man sowas?

mfK
Leberkusen

[Caipi]

Leberkusen schrieb:

Hallo!

Warum ist a + a^-1 immer größer oder gleich 2 (f. a > 0)?
Wie beweist man sowas?

mfK
Leberkusen

So wie ich das sehe, gibt hier zwei Fälle, die du beweisen musst.

1. a = 1
2. a >= 2.

Wenn a = 1, dann ist a^-1 = 1; denn 1^-1 = 1/1^1 = 1. => a + a^-1 = 2.
Wenn a >= 2, dann ist die Ausage sowieso erfüllt; denn jede Zahl >= 2 + ein bischen muss größer als 2 sein.

Vielleicht hilft dir das ja... (Oder hab ich was falsch verstanden?)

Gruß Caipi

[volkard]

Leberkusen schrieb:

Hallo!

Warum ist a + a^-1 immer größer oder gleich 2 (f. a > 0)?
Wie beweist man sowas?

mfK
Leberkusen

a+1/a ist gleich 2 für a=1
die ableitung nach a ist 1+irgendwas(a)
differenzieren kannste hoffentlich besser als ich. ich vermute nur, daß für a>1 dieses irgendwas(a)<1. dann wäre nämlich 1+irgendwas(a)>0 und daher die suppe streng monoton steigend für a>1.
reicht das?

[Mr. Besserwisser]

Caipi schrieb:

Leberkusen schrieb:

Hallo!

Warum ist a + a^-1 immer größer oder gleich 2 (f. a > 0)?
Wie beweist man sowas?

mfK
Leberkusen

So wie ich das sehe, gibt hier zwei Fälle, die du beweisen musst.

1. a = 1
2. a >= 2.

Wenn a = 1, dann ist a^-1 = 1; denn 1^-1 = 1/1^1 = 1. => a + a^-1 = 2.
Wenn a >= 2, dann ist die Ausage sowieso erfüllt; denn jede Zahl >= 2 + ein bischen muss größer als 2 sein.

Vielleicht hilft dir das ja... (Oder hab ich was falsch verstanden?)

Gruß Caipi

Du beachsest die Fälle 0 < a < 1 und 1 < a < 2 nicht. Er sagte nichts von $a \in N$.

[Caipi]

Mr. Besserwisser schrieb:

Caipi schrieb:

Leberkusen schrieb:

Hallo!

Warum ist a + a^-1 immer größer oder gleich 2 (f. a > 0)?
Wie beweist man sowas?

mfK
Leberkusen

So wie ich das sehe, gibt hier zwei Fälle, die du beweisen musst.

1. a = 1
2. a >= 2.

Wenn a = 1, dann ist a^-1 = 1; denn 1^-1 = 1/1^1 = 1. => a + a^-1 = 2.
Wenn a >= 2, dann ist die Ausage sowieso erfüllt; denn jede Zahl >= 2 + ein bischen muss größer als 2 sein.

Vielleicht hilft dir das ja... (Oder hab ich was falsch verstanden?)

Gruß Caipi

Du beachsest die Fälle 0 < a < 1 und 1 < a < 2 nicht. Er sagte nichts von $a \in N$.

Wie Recht du hast... Da hab ich mich ja (mal wieder) total verladen ...

Sorry @Leberkusen

Gruß Caipi

[Jester]

a+1/a >= 2 <=> a^2 + 1 >= 2*a <=> a^2-2*a + 1 >= 0 <=> (a-1)^2 >= 0 ist für a>0 auf jeden Fall erfüllt. Beachte a>0 ging ein, als ich die Ungleichung mit a multipliziert hab.

MfG Jester

[aaaa3]

Hier ist ein hübscher Beweis:
$(a-1)^2 \ge 0$
$\Rightarrow a^2-2a+1 \ge 0$
$\Rightarrow a^2+1 \ge 2a$
\Rightarrow a+\frac{1}{a} \ge 2 \mbox{ f"ur } a>0
qed.

[aaaa3]

Hups, war zu langsam

[Dommel]

Jester schrieb:

Beachte a>0 ging ein, als ich die Ungleichung mit a multipliziert hab.

Das hab ich nicht genau verstanden... Kannste das nochmal genauer erklären??

[Jester]

Ungleichungen lassen sich mit einer Konstanten größer 0 multiplizieren, das gibt dann ne Äquivalenzumformung. Wenn Du mit ner negativen Zahl multiplizierst, dann mußt Du das Ungleichungszeichen umdrehen um eine äquivalente Aussage zu erhalten.

[Dommel]

OK... danke